GÉOMÉTBIE ANALYTIQUE A DEUS DIMENSIONS. 305

Si on prend (fig. 179) AB = AF= 7 />, et qu’on élève BL perpendi-culaire à l’axe A.r, le point F sera le foyer de la parabole, et BLcnsera la directrice. Si ensuite on mène, d’un point quelconque decette courbe, le rayon vecteur FM et les lignes MP et MQ perpen-diculaires sur Ax et BL, on aura

FM = x + \p — AP -f AB =MQ ;

et ainsi on retrouve que chaque point de la parabole est égalementéloigné du foyer et de la directrice.

428. Soit N un point extérieur à la parabole ; menez NQ perpen-diculaire à la directrice, prolongez NQ jusqu’à sa rencontre Mavec la courbe, et joignez le foyer F aux points N et M : on aNF+MN>MF, et MF = MQ = NQ + MN ; donc NF + MN>NQ+MN, ou bien NF>NQ.

Pour un point intérieur N', on a, en suivant les constructions dela figure, N'F<N'M + MF : or, N'M + MF=N'M-fMQ=N'Q ;donc N'F<N'Q.

Donc, selon qu’un point est sur la parabole, ou au dehors, ou audedans, sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice,ou elle est plus grande, ou elle est moindre.

429. Il est facile de construire une parabole dont on connaît le pa-ramètre 2p. A^ant pris (fig. 180) AB = AF=^/j, on élève une per-pendiculaire GH par un point quelconque P de l’axe; puis, avecBP pour rayon et le point F pour centre, on décrit un arc de cerclequi coupe GII en M et N. Ces points sont à la parabole : car ils sontégalement distants du foyer F et de la directrice BL.

Si on veut décrire la parabole d’un mouvement continu, placezcontre la directrice BL une équerre mobile EQR, prenez un fild’une longueur égale à QR, attachez une de ses extrémités en R,et l’autre au foyer F ; tendez alors ce fil par le moyen d’un styleappliqué contre QR, et faites glisser l’équerre le long de la direc-trice : le style décrira la parabole. En effet, on aura toujoursFM-f-MR=QM-j-MR; donc FM=QM; donc le point M est àla parabole.

430. Cherchons encore l’équation de la parabole d’après l’énoncésuivant, qui est celui du n* 316, dans lequel on fait /« = «.

Trouver la courbe qui jouit de la propriété d’eÿ-’oir chacun deses points également distant d'un point donné F et d'une droitedonnée LL' (fig. 180).

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