GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 313

1° Selon qu’un point est sur la parabole, ou dehors, ou dedans,la quantité y—2 p'x doitètre nulle, positive ou négative (421).

2° Les carrés des ordonnées au diamètre sont entre eux commeles abscisses correspondantes (420).

3° En désignant par a le rapport de sinus, égal au coefficient dex dans l’équation générale de la ligne droite, la valeur de a, rela-tive à la tangente, sera (432),

on aura, pour l’cquation de la tangente,yy=p'(x+x);et, pour la sous-tangente (435),

PT=2x':

c’est-à-dire que la sous-tangente est toujours double de l'abscissedu point de contact.

448. Une droite étant donnée, si on mène à la parabole unetangente parallèle à cette droite, et le diamètre qui passe au pointde contact, l’équation de la courbe rapportée à ce système d’axesseray= 2 p'x. Menons, d’un point quelconque de la droite donnée,deux tangentes à la parabole : en désignant par x" et y" les coor-données de ce point, on a (436), pour déterminer celles des pointsde contact, les deux équations

y=2pv, ï'y=p'&+*?').

La seconde fait voir que la droite, qui a pour équation yy =p' (x--\-x"), passe parles points de contact. Si dans cette équationon fait,r=:0, il vient — x" : résultat indépendant dey', etqui donne pour la parabole le théorème déjà trouvé pour l’ellipseet l’hyperbole (353, 403). Donc, en général,

iSi, de chaque point d’une droite donnée , on mène deux tangen-tes à une courbe du second ordre, et qu’on tire une droite par lesdeux points de contact , on aura des sécantes qui viendront toutesse rencontrer en un même point, situé sur le diamètre qui divise enparties égales les cordes parallèles à la droite donnée.

Et, réciproquement, si, par un point donné dans le plan d’unecourbe du second ordre, on tire différentes sécantes , et que par lespoints où chaque sécante rencontre la courbe , on mène deux tan-gentes, le lieu des points d’intersection de ces tangentes , ainsi