314 DEUXIÈME PARTIE.

prises deux à deux , sera une droite parallèle aux cordes que diviseen parties égales le diamètre passant au point donné.

449. L’équation [/?,] montre oncorc que si on veut décrire uneparabole, lorsqu’on connaît le paramètre d’un diamètre et l’incli-naison des ordonnées correspondantes, il suffit de décrire d’abordune parabole sur ce diamètre pris pour axe, avec le paramètredonné, et ensuite d’incliner convenablement les ordonnées decette courbe, sans changer leurs longueurs.

On peut encore déterminer d’abord le foyer et la directrice, et dé-crire ensuite la parabole. Soit A'x'(fig. 187) le diamètre donné,menez la droite yA'T sous l’inclinaison donnée , cette ligne seratangente à la parabole au point A! (445); fai tes l’angle TA'F^'A'x',la ligne A'F passera au foyer (438); prenez A'F égale au quart duparamètre donné, le point F sera le foyer (446). Alors, sur le pro-longement de A'x' , portez A'C = A'F, puis élevez CL perpendicu-laire à A'x' : CL sera la directrice (427).

Quadrature (le la parabole.

450. Soit APM (fig. 188) un segment parabolique terminé parle diamètre Ax et par l’ordonnée PM parallèle à la tangente AY,il s’agit d’en évaluer la surface.

Ayant inscrit un polygone dans le segment, menons par les som-mets de ce polygone les ordonnées FM', P"M",... et les tangentesMT, M'T, M"T".... Ces tangentes déterminent, par leurs intersec-tions successives, des triangles TRT, TR'T",... que nous allonscomparer avec les trapèzes correspondants PMM'P', P'M'M'P",...

Si du point R, et du point I milieu de la corde MM', on abaisseRQ et IK perpendiculaires sur Ax on aura

aire TRT = jTT'xRQ, airePMM'P' =PP ' xIK.

Mais d’abord, de ce que MTesttangente il suit que AT=AP (447);et parune raison semblable AT = AF ; donc TT = PP'. En secondlieu, si par le point I on mène IG parallèle à Ax, IG sera un dia-mètre (444), et les tangentes en M et M' devront couper ce diamètreau même point ; donc le point R est sur le diamètre IG, et RQest égal à IK. De là on conclut que le trapèze est double du triangle.On ferait voir semblablement que P'M'M"P'' est double de T'R'T',etainsi de suite. Donc la somme des trapèzes est double de la sommedes triangles, et cela, quel que soit le nombredes côtés du polygone.