DEUXIÈME PARTIE.

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ll'Fx égal à IIF.r, ou, co qui est la même chose, si on mène FH'parallèle à la seconde asymptote, on trouvera dans l’angle AFI1'un arc tel que BK'S' symétrique à BKS. Bans l’angle H'Fx, lerayon vecteur est négatif comme il l’a été dans l’angle HF.r, et cesvaleurs doivent être rejetées.

En faisant croître l’angle « au delà de 360°, le rayon vecteuraura les mêmes positions et les mêmes valeurs qu’il a déjà eues ;de sorte qu’on n’obtient plus de nouveaux points de la courbe.

L’équation [S] n’a fait trouver que la première branche de l’hy-perbole : en raisonnant de la même manière sur l’équation [|5'], onaura l’autre branche TCT'.

Maintenant, nous ferons remarquer que s’il y a dans l’équation[jS] un défaut de généralité qui l’empêche de donner les deuxbranches de l’hyperbole, cela lient uniquement à ce que nousavons attaché à p la condition d’être positif. Si on ôte celte res-triction, et que, suivant la règle générale (451), on porte les va-leurs négatives de cette variable sur le prolongement du rayonvecteur, l’équation [6] déterminera aussi l’autre branche, tellequ’elle résulte de l’équation [S'].

En effet, soit FR une position du rayon vecteur correspon-dant à «=w', l’équation [S] donnera

_ P

^ 1 —c COS m

•

supposons que cette valeur soit négative. Pour le prolongement FR'de FR, on a w = w'-|-180 ; et en substituant cette valeur dans [S'j,il viendra

e= -P -.

^ 1—ecosw”

quantité qui est positive, puisque l’autre est supposée négative : elledétermine donc sur FR' un point iV de la branche TCT'. Or, cepoint est le même qu’on eût trouvé, si, au lieu de rejeter la valeurnégative de n déduite de [S], on l’eût portée sur le prolongementde FR : donc l’équation [(3] donnera à elle seule toute l’hyperbole,pourvu qu’on regarde, ainsi qu’on doit le faire en général, les va-leurs négatives du rayon vecteur comme devant être portées sur leprolongement de cette ligne, de l’autre côté de l’origine.

457. Parabole. Les coordonnées étant rectangulaires (fig. 194),et l’équation de la parabole étant,/ 2 ==2p.r, si le rayon vecteur FM,