GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 327

Par suite on aCK=AI=AII. Or, BK—CK=BC;doncBH—Ail= BC ; donc aussi, en prenant BIP = AH, on auraBH—BH'=HH'= BC. On vient de voir que la distance des foyers de l’ellipse estégale à BG ou AU ; donc les points H et II' sont les deux foyers.

Au reste, le foyer H' est aussi déterminé par le cercle décrit au-des-sous de AB tangentiellemcnt aux trois memes lignes AB, AR, BT.En effet, si on suppose que H', I', K', soient les points de contact,on a BH'= BK'=DI'. Par conséquent AH'— BH' = AI'— DI'=AD ;donc H' est l’autre foyer.

Si on mène IL parallèle à AC, le triangle AIL sera semblable àABD, et on aura AL : AB :: AI : AD. Soit O le milieu de AB ; ona AB = 20A, AD=20H, AI=AH; donc, au lieu de la propor-tion précédente, on peut écrire AL : OA :: AH :0H, [ou bien,componendo,

OL : OA : : OA : OII, d’où OL x OH=OA J . 1

Pareillement, si on mène K'L' parallèle à BD, on trouve OL ' X OH*=0Â a . Ces résultats étant rapprochés dun° 315, on conclut queles points L et L' sont les pieds des deux directrices.

III. Si le plan coupant se meut parallèlement à lui-méme, lestriangles ADB, ACB, conserveront les mêmes angles ; donc le

rapport qui est celui des axes de l’ellipse, restera constant.

C’est en cela que consistent les ellipses semblables.

IV. Quand le cône et l’ellipse sont donnés séparément, on connaîtles côtés AB et AD du triangle ABD, ainsi que l’angle D. En effet,AB est le grand axe de l’ellipse, AD est la distance des foyers, etl’angle D est le complément de l’angle formé par la génératrice ducône avec l’axe. On peut donc construire le triangle ABD, et avoirensuite le point S en élevant SV perpendiculaire au milieu de BD.Alors il est évident que le cône engendré par la révolution de SRautour de SV est égal au cône donné, et que le plan conduit par AB,perpendiculairement au plan RSV, coupe ce cône suivant l’ellipsedonnée ; donc toute ellipse peut être placée-sur un cône donné.

Par la nature de l’ellipse, AD est <C AB ; d’ailleurs, l’angleADB est aigu ; donc le triangle ADB est toujours possible, et laconclusion précédente n’est sujette à aucune exception.

464. Deuxieme cas (fig. 199). En faisant les mêmes constructions