328

DEUXIÈME PARTIE.

que dans le premier cas, et conservant les mêmes dénominations,on a toujours X PF-

Par la comparaison des triangles semblables AEP, ADB, etpar celle des triangles BFP, BCA, qui sont aussi semblables, on

trouve EP ='^, PF = e t par suite, il vient

a a 7

f ^

donc la section conique est une hyperbole.

Remarques. I. En plaçant l’origine au sommet, l’équation del’hyperbole est (360)

(2Ax+x 7 ).

On voit par là que, dans l’hyperbole située sur le cône, le premieraxe est égal à 2 a , que le second est égal à 21 /fg, et que l’excen-' tricité est 2 \Za-\-fg.

En menant AG perpendiculaire sur BD , on trouve facilement

AD’:=W + 4 r - V U'—g) = *«* -f Vgi

donc AD = 2 l/a 7 -f- fg, ce qui prouve que la distance AD est égaleà l’excentricité.

II. Soient II, 1, K, et II', F, K', les points de contact des lignesx'x, RR', TT', avec les deux cercles tangents à ces lignes et com-pris entre les génératrices RII' et TT', on aura AII = AI=CK, etpar suite BH-j-AH = BK-j-CK = BC. Or , la ligne AD ou BC estégale à la distance des foyers de la courbe ; donc le point II estun foyer. On a aussi BH' = BK' = DI', et par suite AII'-f-BlI' =Al' -f- DI' = AD ; donc le point IT est l’autre foyer.

Tirons IL et K'L' parallèles à BD. Les triangles semblables AIL ,ADB, donnent AL : AB : : AI ou AH : AD ou HII'.

Soit O le milieu de la distance AB: cette proportion revient à celle-ci , AL : OA : : Ail : OH ; donc, dividendo , OL : OA : : OA : OH,d’où l’on tire OL x OII=OA\

Semblablement, on trouverait OL ' X OU'—OA 7 ; donc (372) lespoints L et L' sont les pieds des deux directrices.

/fp

III. Pour des sections parallèles, le rapport des deux axes-^—reste constant ; alors les hyperboles sopt dites semblables.