GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 339

Considérons des polynômes quelconques en x cIjk, et soient

U — A/ / +11 / y’ —j— etc. 5U,=A' x v 'y q ' + B' ■r”'y*' + etc.,

U,=A "j^y+ B "x r "S"+ etc.,etc.

Supposons que tous les termes de U soient du degré m, que ceux deU, soient du degré m — i, et ainsi de suite : les courbes algébriquesde l’ordre m pourront être représentées par l’équation

[1] U + U,+ U,+ etc.=0.

Cela posé, pour avoir c, il faut faire,y==e.r dans [t], et chercherla valeur de c correspondant à x = zhso. Or, puisque les termesde U sont du degré /», il est clair qu’aprés la substitution de ex, ilscontiendront tous x m -, de même ceux de U, contiendront x m ~'\ etainsi de suite. Pour abréger, faisons

T=rAc ? -j-Bc* —|— etc., T,=A'c , '-j-B'c*'+etc.,

T a = A"c î ' , -j- BV"+etc., etc.;

l’équation [1] deviendra TvU m 4-T,x m_ ' +T 3 .r m-a +etc. = 0, oubien, en divisant par x m ,

T T

T -j—!-j- -i-j- etc. =0.x x

Maintenant supposons x— ±a>, il reste T= 0, ou

[2] Ac 3 + Bc 8 +etc.=0j

et telle est l’équation dont les racines réelles seront les valeurs de c.

Connaissant c , passons à la détermination de d. Dans l’équa-tion [1] je fais y—cx — d , ou plutôt y =cx-\- d; je représentepar T', T'',..., T/, T",...,T,', T a ",..., etc., les polynômes dérivésrelatifs à c, de T, T„ T,, etc.; et l’équation résultante, ordonnéepar rapport à x , sera

Tx m -\- (W + T.) x m -’+ + x m "' ! -f-ctc.=0.

J..a partie Tx n est nulle en vertu de l’équation [2]. En la suppri-mant, divisant par x m ~', puis supposant x — dzoo, il reste

[3] TW+T, = 0.

Cette équation fera connaître la valeur de d correspondant à chaquevaleur de c.