DEUXIÈME PARTIE.

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Ainsi les asymptotes non parallèles au y, y sont déterminées parles équations [-2] et [3]. La première, qui détermine c, dépend uni-quement des coefficients du polynôme U ; et la seconde, qui dé-termine d, se forme au moyen des seuls polynômes U et U,, sansrien emprunter à ceux d’un degré inférieur.

Il y acependant une observation importante à faire. Il peutarriverqu’une valeur de c fasse disparaître de l’équation TV*-)-etc. = 0,non-seulement les termes en x m , mais aussi ceux en x m ~'. Dans cecas on divise par et on a, pour déterminer d, l’équation

f|V/ rp f

laquelle en général est du second degré.

S’il arrive que les termes en .r m ~ a disparaissent aussi, on re-courra à ceux qui renferment ; et ainsi de suite.

Pour ne manquer aucune asymptote, il ne faut pas oublier dechercher celles qui sont parallèles aux y. Elles sont déterminéespar les valeurs de x qui rendent y infini : or, en supposant quel’équation proposée soit ordonnée par rapport ày, et qu’alors ellesoit Yy+Y,^" -1 -}-etc.=0, on la divisera par y, et on recon-naîtra sur-le-champ que les valeurs de x , pour lesquelles on ay = ±oo, sont données par l’équation Y = 0.

476. Exemple I. Soit l’équation générale du 2 e degré

[A] Ay + B xy -j- + Dy + E *+F=0,

il faut chercher ce que deviennent dans ce cas les équations [2] cl [3].Pour plus de commodité, on remarquera que T et T, ne sont autrechose que les polynômes U et U,, dans lesquelles on a supprimé xet changé .y en c.

Cela posé, on aura U = Ay* -j- Bxy -j-Cx% U, =D i y-f-E.r;T = Ac J -f-Bc-f-C, T, = Dc-fE, T'=2Ac-j-B. Par suite leséquations [2] et [3] deviennent

Ac a + Bc + C = 0, (2Ac-f B)<Z+Dc-fE = 0;et on en tire

_ B ^ yw— -4AC d _ D + BD —2AE

2A ~ 2A ’ 2A ~ 2A \/W — 4AC

Ces valeurs reviennent à celles du n* 248 : en les mettant dansl’équation y — ex -f- d, on aura les asymptotes.