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GÉ0S1ÉTH1E ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

Exemple II. Soit l’équation

y z — 3axy-\-x 3 =0.

Dans ce cas, on a U=,y 3 -|-.r 3 , U,= — 3 axy, T = c 3 -|-1,T,=— 3ac, T'=3e a ; et les équations [2] et [3] sont

c 3 -f-l=0, 3 c^d —3«c=0: d’où c— —1, d— — a.

Donc la courbe a une asymptote dont l’équation est.y =— x—a :c’est la droite GII (fîg. 205).

477. Plusieurs auteurs déterminent les asymptotes en les consi-dérant comme limites des tangentes. Cette proposition, qui a étévérifiée à l’égard de l’hyperbole (406), peut se démontrer d’unemanière générale. Supposez que le contact s’éloigne à l'infini, etque la tangente MR (fig. 206) devienne GI1, dont l’équation esty = cx-f- d. Soient x', y', les coordonnées du point M; menez

y'

AM dont l’équation est y = —,x. Quand le contrat esta l'infini,

X

RM et AM devront être considérées comme parallèles : or, alors latangente RM coïncide avec GH ; donc aussi alors AM doit devenir

y'

parallèle à GII ; donc limite de — = c.

Maintenant menez l’ordonnée MP qui rencontre GII en N , etmenez aussi AE parallèle à GII. La figure donne ME = MP — PE= NE —MN. Mais MP —y 1 , PE = cx\ NE= AG —d; par con-séquent,/— ex'—d —MN. Or, quand le point M s’éloigne à l’in-fini, puisque la tangente devient GI1, il faut que la distance MNdevienne nulle; donc limite de (y' — cx') = d.

Ainsi, on voit que les valeurs de c et d sont les mêmes pour leslimites des tangentes que pour les asymptotes.

478. Les lignes droites ne sont pas les seules qu’on puisse prendrepour asymptotes. Par exemple, on peut considérer les courbes pa-raboliques , dont l’équation est de la forme,/ = ex' 1 -{- dx & -f- etc.,et proposer de déterminer c, d,... de manière que la courbe para-bolique approche indéfiniment d’une autre courbe qui est donnée.Afin de mieux fixer les idées, je raisonnerai sur la courbe parabo-lique dont l’équation est

y — ex ’ -)- dx -|- e.

Pour que cette équation représente une asymptote, il faut qu’onpuisse tirer de l’équation de la courbe donnée une valeur de y,