GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 343

AB en M, M',..., et la courbe cd en N, N',.-- ; Si alors on aOM OM' OM "

■— = —— =-... la courbe ab sera semblable à AB.

ON ON' OA" ’

Imaginons que la courbe cd soit reportée en ah , et que les lignesON, ON',... se placent en orn , om',...-. les points O et o, d’oùpartent alors les rayons proportionnels, sont nommés centres desimilitude. Il est d’ailleurs évident que les rayons de l’une desdeux courbes font entre eux les mêmes angles que ceux de l’autrecourbe auxquels ils sont proportionnels, et qu’on peut désignerpar le nom d’homologues.

La courbe ah peut avoir telle position qu’on veut àl’égard de ABsans cesser de lui être semblable. Quand cette position est telle queles rayons de l’une soient parallèles à leurs homologues de l’autre,on dit que les courbes sont semblablement situées. Quand elles sontdisposées comme cd et AB, de manière que les rayons homologuespartent du môme point et soient dirigées suivant la même droite,elles ont même centre de similitude et situation semblable.

480. Quand deux courbes sont semblables, je vais montrer qu’onpeut prendre tel point qu’on veut pour centre de similitude del’uned’elles, et qu’il y a toujours pour l’autre un centre correspondant.De ce que les courbes ab et AB sont semblables, il s’ensuit qu’ilexiste un point O tel qu’en donnant à ab une position convenable cd ,et tirant à volonté OM, OM ', qui coupent les courbes en M et N,M' et N', on aura OM : ON :: OM ' : ON'. Le point O est un centrede similitude : or je dis que les mêmes conditions peuvent être rem-plies à l’égard d’un point quelconque G. Tirez OG, GM, GM';menez Nil parallèle à GM; joignez IIN'. On aura OG:OH ::OM : ON::OM ' : ON'; donc UN' est parallèle à GM'; donc l’angleNHN'=MGM'. Par conséquent, si on prend sur GM et GM' lesdistances GP = IIN et GP' = HN', puis si on donne à la courbe cdune nouvelle position ef telle que IIN vienne coïncider avec GP,la ligne UN'coïncidera aussi avec GP'. D’ailleurs GM: IIN::OG : OII :: GM' : IIN' ; donc GM : GP :: GM' : GP'r Ainsi lesconditions de similitude sont encore remplies en prenant le point Gau lieu du point O, pourvu qu’on transporte la courbe ab en ef.

Quel que soit le point qu’on prenne pour centre de similitude, lerapport des rayons vecteurs homologues reste invariable, puis-qu’on a GM : GP :: OM :ON. Ce rapport pourrait être désignésous le nom de rapport de similitude.