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DEUXIÈME PARTIE.

481. Maintenant proposons-nous cette question: l'équationd’une courbe étant donnée , trouver l’équation générale descourbes semblables.

Soit AB (fig. 208) la courbe dont on donne l’équation

[a] F(x ;i x)=0.

Menons de l’origine les rayons OM, OM ',... et divisons-les pro-portionnellement en m, m 1 ,... : le lieu des points m, m'.... sera unecourbe ab semblable à AB. Désignons par h le rapport de OM à O m, par x et y le* coordonnées d’un point quelconque M de lacourbe AB, par x’ et y’ celles du point homologue m ■. il est clair

d’où x — kx', y = ky'.

En mettant ces valeurs dans [a], l’équation résultante

[b] F (kx 1 , ky') = O

, x y OM ,

qu on aura — = — = —— = kx y O m

comprendra toutes les courbes semblables à la proposée; et on lesobtiendra en donnant au rapport k toutes les valeurs possibles.

Mais ces courbes auront une situation particulière : car l’origineest le centre de similitude commun à elles et à la courbe proposée,et de plus les rayons vecteurs homologues sont dirigés suivant lamême droite. Donnons à ces courbes une autre situation; et d’abordsupposons que les axes Ox et Or se transportant parallèlement àeux-mêmes en O'x' et O 'y', la courbe ab devienne cd. Elle aura,relativement à ces nouveaux axes, la même équation [ b ] que rela-tivement aux anciens; et, si on veut continuer de la rapporter àceux-ci, il suffit de changer, dans cette équation, x' en x — a, et y'en y — b, a et b étant les coordonnées du point O' par rapport auxaxes Ox, Oy. De cette manière on trouve l’équation

[c] F [4 (x— a), k{y— J»)] = 0,

qui représente toutes les courbes semblables à la proposée, et sem-blablement situées.

Cette équation n’a point encore toute la généralité désirable.Pour l’atteindre, il faut que les axes Ox et Oy, au lieu de se trans-porter parallèlement à eux-mêmes, soient déplacés d’une manièrequelconque dans leur plan. Supposons donc qu’ils soient devenusO'x', O'y' (fig. 209), et que cd soit la nouvelle position de lacourbe ab ■. il est clair que l’équation de cd, relativement auxmou veaux axes, sera encore F {kx', ky') =0 ; et la question est