DEUXIÈME PARTIE.

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donne pour résultante l’éqnation proposée, ou au moins une équa-tion qui en contienne toutes les racines réelles. Il est bien entenduque, dans le cas où cette résultante renferme d’autres racines quecelles de la proposée, il faut après les constructions, ne teniraucun compte de ces valeurs étrangères.

488. Si on considère des lignes d’une espèce déterminée, ilest facile de reconnaître quelles équations elles peuvent servir àrésoudre. Il suffit d’examiner le degré de l’équation finale qu’onobtient en éliminantentre les équations de ces lignes. Ainsi, l’éli-mination de^K entre les équations de la droite et du cercle donnantune résultante du second degré, on en conclut, comme au n“ 171,que la droite et le cercle ne peuvent résoudre que les problèmes dontl’équation est réductible au second degré. Deux courbes quelconquesdu second ordre donnent une équation finale du quatrième degré ;et on en conclut qu’on ne doit pas chercher dans les intersections deces lignes la construction d’une équation de degré supérieur auquatrième. 11 est inutile de pousser plus loin ces conséquences : pré-sentons quelques applications.

489. Construisons d’abord l’équation du second degré

[1] x' -\-ax-\- b = 0.

Si on la considère comme résultant de l’élimination de y entreles équations y— 0, y —x 1 -\-ax-)- b, il faudra construire sur desaxes quelconques la parabole représentée par la deuxième; et lesdistances comprises sur l’axe des x, entre l’origine et la courbe,seront les racines cherchées.

On peut se servir d’une parabole donnée. En effet, l'équa-tion [1] résulte aussi de celles-ci, x* — ky % ky -j- a x -(- b = 0 ; etle paramètre k peut avoir telle grandeur qu’on voudra.

Mais c’est la combinaison du cercle et de la droite qu’on doitpréférer. Or, si on pose les équations

y— o, {x— a) 3 +(.r—■(3)’=R\et si on élimine .y, il vient

x* — l'AX -f- a’ 6’ — R/“ = 0 ;

et pour que cette équation soit identique avec [1], il faut qu’onait—«’ + r^—R’ = 6, d’où

“-“à’ R

4

~b +

1