3 S 2 TROISIÈME PARTIE.

aussi : d'ailleurs i| est clair qu'alors les projections A'B', jPC', C'D', s’a-joutent pour composer A * 1 )’ ; donc on a

[2] ' l cos * + l'c os aJ-\-l "cos a" = L cos .

Mais s’il y a «les angles obtus; par exemple, si DCR" ou a" est obtus(lig. 3 ), il faut retrancher la projection C'D' des précédentes, pour avoirA'D'. Alors aussi l" cos a" est un produit négatif; d’où il suit que la for-mule ci-dessus donne encore la valeur de A'D' ou L cos <j.

En général, quel que soit le nombre des côtés placés entre les sommetsextrêmes , il est facile de voir que les angles obtus donnent des projec-tions qu'il faut retrancher de celles qui répondent aux angles aigus, pourcomposer la projection de la résultante : et comme l’expression de chaqueprojection est par elle-même additive ou soustractive , suivant que l’angleest aigu ou obtus, il s’ensuit que la formule [2] a toujours lieu sans au-cune restriction.

Cette formule n’est au fond que la traduction analytique de ce principeévident par lui-même, que la somme des projections de plusieurs droites con-sécutives , sur un axe quelconque , est égale à la projection de la ligne résultante.

Je ferai usage de ce principe pour la transformation des coordonnées dansl’espace ; et le lecteur qui serait pressé de connaître les méthodes employéesdans l’application de l’analyse aux surfaces, peut dès à présent passer auchapitre suivant.

527. Quand les droites successives, qu’elles soient dans un même planou non, forment un polygone fermé, on a L = o, et par conséquentL cos<p O ; donc, dans tout polygone fermé, la somme des projections des côtessur un axe quelconque est égale à zéro.

Dans un polygone fermé un côté est la résultante des autres côtés, et ledernier énoncé ne semble pas s’accorder avec le précédent. La difficultédisparaît en faisant attention que, dans les deux cas, les angles formés parce côté, avec l’axe de projection , sont suppléments l’un de l’autre. Ainsi,dans la figure 2, si 011 considère AD comme la résultante , c’est DAR qu’onprend pour l’angle de cette ligne avec l’axe de projection ; et si AD est con-sidéré comme côté du polygone, ce sera l’angle ADR"', de même que BAR,CBR', DGR", sont les angles des côtés précédents avec l’axe.

528. Plaçons l’axe de pi*ojection dans différentes situations. Prcnons-lcd’abord parallèle à la résultante ; alors <j o et L cos <;> = L : c’est la plusgrande valeur que ce produit puisse avoir. Si l’axe est dans un plan perpen-diculaireà la résultante, on a 9 = 90° et Lcos<p=o. Enfin, si l’axe tout enchangeant de position continue de faire le même angle avec la résultante , leproduit Lcos<p restera toujours le même. De là les conséquences suivantes :

1° La somme des projections de plusieurs droites consécutives est la plusgrande possible, quand l’axe de projection est parallèle à la résultante-, et cettesomme maximum est égale h la résultante elle-même.

2° La somme des projections est nulle sur tous les axes pcrpcndicidaires u larésultante.