338 TROISIÈME PARTIE,

résultante, étant l’axe sur lequel la somme des projections des cfttés du po*lygone est un maximum (028),on conclut que le plan perpendiculaire à cetteligne est celui sur lequel les projections superficielles ont une somme maxi-mum A quoi il faut ajouter que ce maximum a le meme rapport avec chaqueaire, que la ligne résultante avec le côté perpendiculaire à cette aire. Cetteremarque suffit pour déterminer la somme maximum des projections desaires , somme qu’on pourrait aussi appeler aire résultante.

Tout ce qui a été dit des projections linéaires sc transporte sans aucunedifficulté aux projections superlicielles. Je me bornerai ici à énoncer lapro*prié té qui est analogue à celle du n° 532 , savoir : que, pour projeter une aireplane sur un plan donné, on peut la projeter d'abord sur trois plans rectangulai-res, projeter ensuite les trois projections sur le plan donné , puis faire la sommedes trois nouvelles projections.

5 :jo. Le principe du n° 627 a aussi son analogue dans les polyèdres. On en-tend ici par polyèdre un assemblage de faces planes qui renferment entre ellesun espace limité en tous sens , et le principe dont il s’agit s’énonce ainsi :Dans tout polyèdre, la somme des projections des différentes faces , sûr un planQuelconque , est égale ci zéro.

Cet énoncé exige évidemment que certaines projections soient prisesnégativement ; et il faut d’abord expliquer comment les signes doivent êtredistribués.

Supposons que les projections de plusieurs faces consécutives soient(fig. 8) ABCD, ABLFG, AG 1 II,..., on peut prendre l’uned’eiles avec le signequ'on veut : convenons de donner à ABCD le signe Pour avoir celuide la projection ABFFG qui suit immédiatement, il faut observer si, àpartir du coté AB par lequel elle touche la première , elle est en dehorsd'elle ou en dedans : c'est le premier cas qui a lieu, et alors on lui donneaussi le signe +. La projection de la troisième face est AGRI : à partir ducôté AG elle est on recouvrement sur la precedente, et par cette raisonelle aura un signe contraire. On continue ainsi de comparer la projectionde chaque face à la projection qui la précède immédiatement, et avec la-quelle elle a un côté commun; et on l'affecte du meme signe ou du signecontraire , suivant qu’elle s’applique au delà ou en deçà du côté commun.

Cette règle étant bien comprise, imaginons que les faces d'un polyèdreconvexe, semblable à ceux de la géométrie élémentaire, soient projetéessur un plan quelconque. Il est facile de voir que chaque partie de l’espacequi renferme ces piojections doit être considérée comme contenant deuxprojections égales et de signes opposés, de telle sorte que si on ajoute, avecles signes qui leur conviennent, les projections de toutes les faces, le résul-tat sera zéro. Quand le polyèdre a des angles rentrants , comme il doit êtrefermé de tous côtés, il faudra que chaque portion de l’aire couverte par lesprojections contienne un nombre pair de projections, égales deux à deuxet de signes contraires ; par conséquent la somme des projections de toutesles faces est encore zéro.

La figure 9 représente, pour les polygones, un cas analogue à celui dont