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GÉOMKTfUK AN.G.Y'NQCE A TROIS DIMLtSSIONS.

je viens de parler. On y voit que la portion pq de l’axe de projection OX estcouverte par quatre projections, égales deux à deux, et de signes opposés,savoir : celles de «£», cd , et celles de cf f gh. Enfin, l'esprit doit, aller ici plusloin que le texte de l’explication et apercevoir clairement que , d’après lanature des polyèdres fermés, il arrivera toujours que la somme des projectionsdes faces soit égale à zéro.

54 1 ♦ Désignons par A, A', A”,... les faces successives d’un polyèdre fermé;menons une suite de droites consécutives h, L\ L",... perpendiculaires etproportionnelles à ces faces, et ayons soin de les diriger de manière qu’ellescomprennent entre elles des angles égaux aux inclinaisons des faces les unessur les auties. Alors je d:s que ces droites formeront un polygone fermé.

Supposons qu'il en soit autrement, et nommons X le coté qui ferme le po-lygone. Projetons tout le polygone sur un axe quelconque, et le polyèdresur un plan perpendiculaire à cet axe : les faces A, A', A",... feront avec ceplan les memes angles que les droites proportionnelles L, L 7 , JJ 1 ,... avecTaxe; et comme la somme des projections superficielles des faces doit êtrenulle, celle des projections ünéuiics de ces droites sera aussi nulle. Mais,dans le polygone fermé par le coté X, la somme des projections linéairesde X, L, I/, L",... est nulle (Su;) ; donc la projection de X est nulle. Cetteconséquence a lieu quel que soit l’ave de projection , ce qui est impossiMc àmoins qu’on n’ait X — 0 ; donc les lignes J,, L', L",... déterminent un poly-gone fermé.

Cette proposition est importante : car elle montre que toutes les relationsentre les cdtés et les angles d'un polygone s’appliquent aussi aux polyèdres.

54*2. Considérons en particulier une pyramide triangulaire, dont je dési-gnerai les faces par A, A', A", A"'; et soit ABCD (fig. 10) le quadrilatèrecorrespondant, dont les cotés AB, BC, CD, DA, sont perpendiculaires etproportionnels à ces faces. Ces cotés ne peuvent pas être dans un memeplan ; car, si cela était, ce plan serait perpendiculaire à toutes les faces, etpar conséquent à toutes les arêtes de la pyramide.

De là il suit qu’en achevant le parallélogramme ABCE, et en tirant leslignes BF, AG, EH, égales et parallèles à CD. on formera un parallélépipède ;et par conséquent la formule [n] du n* 535 doit avoir lieu entre AB, AE,AG, AD, et les angles BAE, BAG, GAE. Ces angles sont suppléments deABC, ECO, BCD; et ceux-ci sont égaux aux inclinaisons de A sur A', de Asur A", de A' sur A". Désignons donc ces inclinaisons par et, «t"; onpourra remplacer, dans la formule citée, les angles pur 180 0 — et, 180° — st',l8o°—*", et les lignes par les aires A,À',A", A'", auxquelles les longueursAB, AE, AG, AD, sont proportionnelles. De cette manière on obtient luformule

[i 3 ] A"' a = À* -i- A' 3 + A" 2 — qAA'cos* — a AA" cos a' — 2 A'A" cosqui exprime la relation entre une face quelconque de la pyramide, les troisautres laces, et les inclinaisons mutuelles de ces trois faces.