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TROISIÈME PARTIE.

CHAPITRE II.

DU PLAN ET DE LA LIGNE DROITE DANS L'ESPACE.

Géorralilés préliminaires : comment on détermine dans l’espace les points. les surfaceset les lignes.

543. Pour déterminer la position des différents points de l’espace, on lesrapporte à trois plans lises qui forment un angle solide. Le plus souvent cesplans sont perpendiculaires entre eux, mais nous ne ferons d’abord aucunehypothèse particulière. Soient ( lig. n ) xOx', yOy', zOz', les intersectionsde ces plans deux à deux, et M un point situé comme on voudra dans l’espace.Par ce point, et parallèlement aux trois plans fixes , on mène trois plans,savoir : MM'PM" parallèle au plan yO 2 , et qui coupe la ligne x'x en P;MM'QM"' parallèle au plan xOz , et qui coupe y'y en Q; et enfinMJ1 "RM'" parallèle au plan xOy, et qui coupe z'z en R. Le point M seraparfaitement déterminé quand on connaîtra les points P, Q, R; car en me-nant, par ces points, des plans parallèles aux plans lixes, ils iront se rencon-trer au point M. Et, d’un autre côté , ces trois points P, Q, R , se détermi-nent eux-mêmes au moyen des distances OP, OQ, OR, qu’on affecte du signe-f- ou du signe —, selon leur situation à l’égard du point O.

Les distances OP, OQ, OR, prises avec les signes qui leur conviennent,se nomment les coordonnées du point M. Les droites x'x, y'y, z'z, sont leslignes ou les axes de ces coordonnées; le point O où elles se rencontrent en estl’origine; et les plans .rOy, rOz, yOz, sont eux-mêmes appelés plans des coor-données , ou simplement plans coordonnés . Souvent on désigne les coordon-nées d’une manière générale par x,y, z, on dit alors que x'x est l'axe desar,quearOy est le plan de xy, etc. Les plans et les axes des coordonnées doi-vent être considérées comme indéfinis; mais, afin d’éviter la confusion, onne représente ordinairement dans les figures que les portions des axes surlesquelles sont comptées les coordonnées positives.

544- Les trois plans menés par le point M forment avec ceux des coordon-nées un parallélépipède ; et de là il suit qu'on peut prendre indifféremmentpour les coordonnées du point M, soit les distances OP, OQ), OH, qui sontsituées sur les axes, soit les distances MM"', MM",Màl', qui partent du pointM et qui sont parallèles aux axes, soit encore les distances OP, PM', M'M,qui composent la ligne brisée OPM'M menée entre le point M et l’origine.

545. D’après ce qui précède, si on désigne par a, b, c, trois longueurs, po-sitives ou négatives, et qu’on donne x — a, y = b, z~c, ces valeurs déter-mineront complètement la position d’un point

Si i’une des coordonnées est nulle, le point est sur le plan des deuxautres- Par exemple si on a xxza, y~b, z— o, il est dans le plan de xy. Lors-