GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 249

que deux coordonnées sont nulles, le point est sur Taxe de la troisième.Ainsi, en prenant ,r = rt,y = o, z = o, il sera sur la ligne des x. Enfin, lepoint est situé à l'origine si on a en même temps xz=z o, 7= o, z = 0.

54 6 . Les points M', M", M'", où les lignes menées du point M parallèle-ment aux axes, rencontrent les plans coordonnés, se nomment les projectionsde ce point; et ces projections sont dites orthogonales ou obliques , selonquelles sont faites par des perpendiculaires ou par des obliques.

Les coordonnées du point M étant a, b , c, il est évident qu'on a

x = a, 7 = 6, z — o, pour la projection M' sur le plan de xy,

.r=a, 7=0, t — Cy pour la projection M" sur le plan de xs\

x — o , 7 = 6, z-=.c, pour la projection M'" sur le plan de yz.

Quand on veut désigner l’une des projections, M', par exemple, on se borne

quelquefois à énoncer les deux égalités x—a y y~b; mais alors la troisième,z = o, est sous-entendue, et on doit y avoir égard dans le raisonnement.

5 '17. Maintenant il faut expliquer comment on détermine les surfaces.Considérons une surface quelconque, et supposons qu’on ait pris arbitraire-ment deux coordonnées, par exemple x= OP et y= PM' (lig. 11) : en me-nant la droite M'M parallèle à l’axe Os, elle ira rencontrer la surface en unpoint M , ou en plusieurs qui seront entièrement déterminés. Il suit de làqu’il doit exister entre x , y z, une relation telle que , deux de ces lignesétant données, les valeurs de la troisième puissent s’en déduire. L’équationqui exprime cetlc relation se nomme Véquation de la surface ; et réciproque-ment la surface est le lieu de Véquation.

C’est ainsi qu’on est conduit à regarder une équation entre x y y t z f commereprésentant une surface. Cette proposition peut d’ailleurs se démontrercomme il suit.

Soit F (x t y, *) = o l’équation dont il s’agit. Prenons (fig. 12) sur Taxedes z une distance quelconque 00'= c, et menons le plan .c'O'7' parallèleà xOy : il coupera les plans aOs et yOz suivant les droites O'.r' et O r y' y pa-rallèles aux axes O.r et O7. Parmi les points qui satisfont à l’équation don-née V(x f y, z)=z o, ne considérons que cei^qui sont contenus dans le pî.tx'üy, et soit M l'un quelconque de ces points. Si on mène MN parafieleà O 'y', et qu’on fasse 0 'iM = x f et NM =7', les coordonnées du point M rap-porté aux lignes O'a' et 0'7' seraient x' et7'. Les trois coordonnées du mêmepoint M, rapporté aux trois axes O.r , O7, Os, sont

.r=:0']H=a- / , 7 = MIS =7', z — 00' = c.

Or, ces quantités doivent vérifier l’équation F(.r, 7, z) = o ; donc, si on ef-fectue les substitutions, l’équation résultante F(.r', 7',*?) = o 11e contiendraque les deux variables x' et 7', et représentera une ligne rapportée auxaxes O'.r' et O'r'. Ainsi, quel que soit le lieu de l’éqnation F(.r, y, z)= o , celieu est coupé suivant des lignes par des plans parallèles au plan de xy. Cettepropriété ne peut appartenir qu’à une surface ; donc une équation entre x, y, z,représente une surface.

^.Toutefois, comme il peut se faire que l’equation en x’ et 7' ne représente