TROISIEME PARTIE.

3 f /2

qu’uu ou plusieurs points, et même qu’elle soit impossible^ II arrivera aussi,dans certains cas, que l'équation en x, y, s* donnera une ligne seulement,un ou plusieurs points sépares, ou même encore quelle sera impossible.

5 /|B. Lorsque 1 équation donnée ne renferme que deux des coordonnées,æ et r, par exemple, elle représente un cylindre parallèle à l’axe des z. Eueffet, si 011 ne considère d’abord que les points du plan de .ry, cette équationdétermine en général, sur ce plan, une ligne Àlî (lig. ï 3 ). Si ensuite, parchaque point M de cette ligne, on mène une droite MM' parallèle aux z y ilest clair que les valeurs de x et de / seront, pour tous les points de cettedroite, les mêmes que pour le point RI. U n’y aura de différence que dans latroisième coordonnée z ; et comme z n'entre pas dans l’équation donnée , ils'ensuit que tous les points de MM 1 satisfont également à celte équation;c’est-à-dire, en d'autres termes, que cette équation détermine un cylindreparallèle à l'axe des z. La dénomination de cylindre est prise ici dans le sensle plus étendu, et désigne toute surface engendrée par une droite qui semeut parallèlement à elle-même.

549. Quand une équation ne contient qu’une seule coordonnée, on en tirepour cette coordonnée des valeurs constantes, et chacune de ces valeurs, sielle est réelle, détermine un plan parallèle à celui des deux autres coordon-nées. En effet, si z — c est une de ces valeurs, et si on mène, parallèlementau plan de ay, un plan qui rencontre l’axe des z à une distance c de l’origine,au-dessus ou au-dessous suivant le signe de c, il est clair que pour tous lespoints de ce plan z est égal à c, et que pour les points situes hors de ce planz est différent de c.

Il suit de là que les égalités x — a t y— b, z =c, prises séparément, repré-sentent trois plans parallèles à ceux des coordonnées ; donc, étant prises en-semble, elles déterminent le point d'intersection des trois plans. Ce pointest précisément celui qui a pour coordonnées «, b t c ; et, pour cette raison,on dit que x= a, y = b, z — c, sont les équations de ce point .

5 ûo. Enfin, parlons des lignes. La manière la plus simple de déterminerune ligne, dans l'espace, consiste à la considérer comme l'intersection dedeuxsurfaces. Ainsi, une droite sera donnée par l’intersection de deux plans; etun cercle le sera par celle d’une sphère et d’un plan, ou encore par celle dedeux sphères. Les équations de deux surfaces, qui contiennent une ligne, senommqnt, prises conjointement, les équations de cette ligne.

Comme il existe une infinité de surfaces différentes qui passent par unemême ligne, il y a aussi une infinité de surfaces qui peuvent, prises deuxà deux, représenter cette ligne. O11 fait disparaître cette indétermination enchoisissant, pour les deux surfaces, des cylindres parallèles à deux des axesde coordonnées. Si le premier cylindre est parallèle à la ligne des/, sonéquation 11c contiendra point y ( 548 ), et si le second est parallèle à la lignedes x, son équation ne contiendra point x; par conséquent, en désignant parY(x,z) une fonction de x et de z sans y, et par une fonction dey et

de z sans x } on peut prendre, pour les équations d une ligne quelconque,

[ 1 ] F(x ; i)=o, [■•*] l r 1 0' ; î; = o.