GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 393

55 1 . Soit A3 (fig. i4) U ligne dont il s’agit. Si, par tous les points jM, M',..de AB, on mène des parallèles à Oj*. les points m, où elles rencontrent

le plan zOz, sont les projections des points jM, M' f ... ; la ligne À'B', qui estle lieu de toutes ces projections, est la projection de la ligne AB; et lecylindre ABBbV se nomme cylindre projetant. Il e»t évident que l’équa-tion [ 1 ] doit être celle de ce cylindre* et, en la restreignant aux seulspoints du plan xOz , elle donne Ja projection A r W. Pareillement, l’équa-tion [a], restreinte aux seuls points situés dans le plan yOz , donne la pro-jection de AB sur ce plan. On voit donc que les équations [ 1 ] et [a] peuventaussi être considérées comme celles des projections d’une ligne sur les plansde xi et de yz.

Si ou élimine z entre [i] et [a], on trouve une équation en *• et y qui doitappartenir à la même ligne AB. Cette équation est celle d’un cylindre pa-rallèle aux z ; et en la restreignant aux seuls points du plan sOy , elle repré-sentera la projection de AB sur ce plan.

55a. En général, si les équations d’une ligne donnée sont

i'(*ov) — ° » — 0 »

l’élimination d’une coordonnée, de y , par exemple , conduit à une équationqui leprésente une surface cylindrique, parallèle a cette coordonnée; et,comme cette surface doit contenir la ligne donnée, il s’ensuit que sou équa-tion , appliquée aux. seuls points du plan de xz , détermine sur ce plan uneligne qui est précisément la projection de la ligne donnée.

Donc, si on élimine alternativement chaque coordonnée à son tour, onobtiendra les projections de la courbe sur les trois plans coordonnés.

Kcpulion du plan.

553. Je vais démontrer, d’abord , que l’équation du premier degré , entreles coordonnées x t y, s, représente toujours un plan; et, à cet effet, jesuivrai la marche déjà employée n° 54" , pour prouver qu’une équation dé-termine une surface.

Soit l’équation générale

[A] Ax-f By -i-CM-D^o.

Je fais d’uhovd/:=o ; et il vient

A-r+Cs-bD^o ou z —

A D

*

Cette équation donne la trace AB (lig. i5) de la surface, sur le p-an de xz;donc cette trace est une ligne droite.

Je fais ensuite ,r=:o : l’équation [A] donne

B D

B/ -f Cz -f- D = o ou z=z —- /-- ;

donc , sur le plan de yz, la surface a encore pour trace une droite AC , quirencontre l'axe des z au même point A que l’autre trace.

Maintenant, menons à volonté un plan parallèle à celui de xz : supposons