394 TROISIEME PARTIE.

qu'il rencontre l'axe 0>-à la distance Oü' = fi, et les deux plansyOx, ^0«.suivant les lignes O'x', O'z' parallèles à Ox et à Os. Soit M un point quel-conque de l'intersection de ce plan avec la surface de 1 équation [A] ; rap-portons ce point aux deux axes O'x' et OV, et. désignons par x'et z' sescoordonnées OT et PAl, comptées slll ‘ ccs axes • tandis que nous continue •rons de nommer x, y, z, ses trois coordonnées O'P, 00', PM, relatives auxaxes Ox, 0 y, O z. Il est évident qu'on doitavoir x = x', y=jï, z — z’ : d’ail-leurs ces valeurs doivent satisfaire à l'équation [A] ; donc on a

Ax'-f B/2 + Ca'-f D=o ou z'= — ^x'—

C 0

Cette équation , entre x' et z' , est celle de l'intersection A'B' de la surfacepar le plan a'O'x'; et comme elle est du premier degré ,-il s'ensuit quecette intersection est une ligne droite. De plus, le coefficient de x' étant lemême que celui de x dans l'équation de la trace AB, on conclut que A'B'fait avec O'z’ le même angle que AB avec O z. Or, le plan, conduit par lesdeux tracesAB et AC serait coupé par a'O'x'suivant une droite qui passeraitau point A', et qui ferait aussi ce même anglear ecO'a'; donc elle ne seraitpas différente de A'B'. Ainsi la surface de l’équation [A] est rencontrée partous les plans parallèles à aOx suivant des droites entièrement compiiscsdans le plan BAC: par conséquent, cette surface n’est autre que ce planlui-même.

55'j. Cas particuliers. L'équation [A] peut n'avoir point tous ses termes, etalors le plan qu’elle détermine prend une position particulière par rapportaux axes.

i° Soit D = o : l'équation [A] devient

Ax + By + Ca = o.

Le plan passe par l’origine : cur cette équation est satisfaite par les valeursx = o , y—o, a = o.

2 ° Soit A = o ; l’équation du plan se réduit à

By -j- Ca + D = o.

Alors la trace du plan, sur le plan de xz, est parallèle à l'axe des x; car,

en faisant y = o, on trouve, pour cette trace.

D

C

. Donc le plan est

lui-même parallèle à l’axe des x : c'est-à-dire, en général, que l'équation dupremier degré, qui ne contient que deux cooidonnées, représente un planparallèle à l'axe de la troisième coordonnée.

3° Dans le cas plus particulier encore, où l'on suppose en même tempsA=o et B=o, l’équation [A] devient

Ca-f-D = o.

Alors les traces AB et AC Sont respectivement parallèles à Ox et 0 y, et leplan BAC est parallèle à xü y: conclusion d'ailleurs évidente, puisquel'équation donne , par tous les points du plan , une valeur constante de »,