GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 3 S 5

savoir z - -.11 résulte île là que l’équation (lu premier degré, qui ne

G

contient qu’une coordonnée, représente un plan parallèle à celui des deuxautres coordonnées.

555 . Il ne suffit pas d’avoir reconnu que l'équation du premier degré re-présente toujours un plan, il faut encore démontrer qu’elle peut donnertous les plans possibles.

D’abord, quand l’équation contient la variable z, on a trouvé pour lestraces du plan, sur les plans de xs et de jz,

_ A D _ ü _ D

s_— — ,r — , a_— -.

Cos deux traces coupent l’axe des z à la distance— - , et en faisant va-rier D on peut faire passer ces traces par tel point de Taxe des z qu on voudra.Si ensuite on fait varier A et B, on pourra aussi faire prendre à ces traces tellesdirections qu’on voudra; donc l'équation [A] peut donner tous les plansqui rencontrent la ligne des z.

En. second lieu , si C est zéro , l’équation [A] devient A.r -f = o.

Alors elle représente un plan qui est parallèle aux z t et dont la trace, sur leplan de xy, a aussi pour équation Àx-f I>y-{- D =o. Or, cette équation peutdonner toutes les droites qu’il est possible de tracer dans le plan de xy;donc aussi l’équation [A] peut représenter tous les plans parallèles aux z.

Donc, enfin, il n’est aucun plan qui ne soit donné par une équation dupremier degré.

55 G. L’équation du plan est employée sous diverses formes. Remarquonsd’abord que l'équation [A] pouvant toujours être divisée far le coefiïcicnt del’un de ses termes, il n’y a réellement que trois indéterminées dont onpuisse disposer pour assujettir le plan à des conditions données. Par exem-ple, si l’équation contient z, on peut la diviser par C, et l’écrire ainsi *

z=fx+gy-\-h.

Mais cette forme ne convient plus aux plans qui sont parallèles à l’axedes z; et, pour celte raison, on préfère souvent se servir de l’équation[A], qui a d’ailleurs l’avantage de conduire à des formules plus symétriques.

057. Lorsqu’un plan rencontre les trois axes , son équation prend uneforme très-élégante si on y introduit les distances OA, OR, OC (lig. 16),de l’origine aux trois points d'intersection de ces axes avec le plan. Cesdistances se déduisent facilement de l’équation [A]. Par exemple, pourl'intersection avec l’axe des x, ona,y = o, z =o, et parsuite l’équation [A]

donne OA =-. On trouve de même OB =— —, OC=-donc, si

A B C

on désigne ccs tiois dLt.mces par a, b , r, 011 aura

a

I)

Â

D d D ü

-, cVcmÀ=-i\ B=- C =-.

C a b c