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Kn mettant ces valeurs dans lequation [A] et divisant par L), il vient.r y z

-h -i-= I ou bcx -fao'-r Q bz = abc.

abc

558. Un plan est déterminé quand on connaît la grandeur et la positionde la perpendiculaire UH (fig. i(i) abaissée de l’origine sur ce plan. SoitOH~ cf ( HOar= HO/ = £, 110^ — y i les triangles rectangles UOA, HOB,HOC, donneront

OA = « = -f— , 0B = i ——— , OC = c= —;

COS St cos^ cos^.

et, en substituant ces valeurs de a , b t c, l’équation du plan prend encorecette forme, qui mérite d'être remarquée.

x cos ± -\-y cos,£-f z cos > —

On peut aussi y parvenir immédiatement en se servant de cette propriété,que la somme des projections orthogonales de plusieurs droites consécutives,sur un axe quelconque, est égale à la projection de la résultante (5a6).Supposons que le point M, pris à volonté dans le plan ABC, ait pour coor-données OQ = x, QP zzz y , P51 rr r, et lirons OM , qui est la résultante ducontour OQPM. I,a droite 011 étant perpendiculaire au plan ABC, si onprojette O.M sur 011 on trouve, pour projection , lu ligne OII elle-même ,laquelle est désignée par «f. D’un autre cùté, en projetant x, y, z, sur OH,on a a’cosa+ < ^cos^+ jcos y pour la somme des trois projections ; donc , envertu du principe cité, on aura

x cosît-f-j eos.é-}-^ eos y = J";

et comme cette relation a lieu pour tous les points du plan, elle est l’équa-tion de ce plan. q

Équations <îe la ligne droite.

55q. D’après ce qui a été dit n° 5 jo, on pourrait prendre, pour les équa -tions d’une dioite donnée, celles de deux plans qui la contiennent; mais ilest plus simple de la déterminer par ses projections sur deux des trois planscoordonnés. Si, par tous les points de cette droite , on mène des parallèlesà l’axe des y (fig. 17 ), elles seront dans un même plan, et leurs pieds, surle plan de z. r, seront en ligne droite. C’est celte ligne droite qui est la pro-jection, sur le plan 2 a*,de la droite dont il s’agit. Sa projection sur leplauyz est aussi une ligne droite : donc, si on veut déterminer une droite parces deux projections , on pourra présenter ses équations sous la forme

[ 1 ] x~az + x., y = bz + /è.

Quand les coordonnées sont rectangulaires , a et 5 seront les tangentes desangles formés avec l’axe des s par les deux projections; mais , en général »ces coefficients sont des rapports de sinus.

5Go. Tl n’est pas inutile de rappeler ici que ces équations, considérées cha-