402 TROISIÈME PARTIE.

et, ep y substituant les valeurs de A et D, on obtient, toutes réductions laites,[G] [y'-bz'-f] (•*-*')- [■*'- »*'- «] 0 — y 1 ) i _ D

+ [H*'- «)- «/-en i ~ ■

Telle est l’équation du plan cherché. ^

5 ^o. On peut encore faire les calculs.d une autre manière. Au moyen déséquations [4] et [ 5 ], on peut éliminer de l'équation du plan deux des quan-tités A, B, C, D. Si, apres Avoir multiplié l’équation [4] par z 011 la retranchede celle du plan ainsi que l’équation [ 5 ], on éliminera C et D ; et on trouveainsi

A(x — 02-*- a) -j- B (y— bz — /É) = 0-

Comme ori n’a eu égard qu’aux relations [j] et [ 5 ], cetteéquation appartientà un plan quelconque passant par la droite donnée.

Pour qu’il passe aussi par le point donné, il faut que cette équation se vé-rifie en y mettant x', y', z', à la place de x, y, z ; donc on doit avoir

d'où

A (x' — az '— x) -j- B ( ybz' — fi) = o,B X 1 — az r —* *

A y' — bz’ — fi'

et par suite il vient, pour le plan demandé,

[ 7 ]

a

x ’— az ’— ay’—bz’—ft

{ y — bz — fL).

Cette équation ne diffère de l’équation [6] que par la forme. On y voit sur-le-champ qu’elle représente un plan qui passe par la droite dpnnée : car elleest évidemment vérifiée en même temps que les équations [1].

57t. Problème VII. Deux droites étant données, mener un plaît qui passeparla première et qui soit parallèle à la seconde.

Soient

,x — az + x, Ix — a’z- fa',

Xy — bz-^-fi, '•y — b’z -f- fi’,

les équations des deux droites; et soit

Ax + By + Ca + ol’équation du plan cherché.

Pour que le plan et la seconde soient parallèles, il faut qu en les transpor-tant à l’origine, parallèlement à eux-mêmes, la droite vienne se placer toutentière dans le plan. Alors les équations sont

[1] xr=a’z, y — b’z, pour la droite ( 565 ),

[a] Ax-\- By + Ca=o, pour le plan ( 568 ) ;

et en mettant les valeurs [1] dans l’équation [2], et supprimant le facteurcommun z qui doit rester indéterminé, il vient

[ 3 ] Ao , +Bi'+C = o:

telle «st la condition du parallélisme.