B —-

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 403

Pour que le plan contienne la première droite, on sait déjà (55g) qu’ondoit avoir

[4] Ao + Bi + C = o,

[5] A*+B/S+D = o.

L'équation [4], qui est semblable à l’équation [3], exprime que le planest parallèle à la première droite. L’équation [5] exprime que le plan passepar le point où cette droite perce le plan de xy : car, pour ce point, on a2 = 0, .r — a ., / = £.

Les équations [3] et [4] donnent

A(a' — a) ^ A {ab' — ba')

" b'—b " ’ C ~ V^b '

En substituant ces valeurs dans l’équation du plan, et faisant —— =D',

A

on trouve

(b 1 — b)x — ( a' — a)y — (ab'— ba 1 ) z -+• D^= O ,

D' étant une indéterminée. Comme on n’a eu égard qu'aux conditions £3]et [4], cette équation représente tous les plans parallèles aux deux droitesdonnées- De plus, comme les coefficients de .r,y, z ne contiennent pas D', ilsdoivent rester constants ; donc tous ces plans sont parallèles entre eux (568),ainsi qu’on devait le prévoir.

Mais si on commence par éliminer D en retranchant l’équation [5] de celledu plan, il vient

A(.r— a )+Bÿ-—^)+Ca=o -,

et si on remplace ensuite B et G par leurs valeurs, on obtient(b 1 — b) fx ■— et) i—(«'— a) (y—é)— ( ab'~— ba')s — o,pour le plan qui remplit toutes les conditions de la question.

5^2. L houle Me VIII. Connaissant les équations de deux plans , trouver les projeetions de leur intersection.

Des considérations générales exposées u 1 Sou, il résulte que, pour obtenirles équations de ces projections, ilfautéliminer alternativement x,y, z, entreles équations des deux plans. Supposons que les équations des plans soientAat+By+Ca+D =o, A'x+B/y+C'/+D'=:o.

Pour les trois projections de leur intersection, on trouvera(AC'— CA')x-f(BG'—CB'Vy+DC'—CD'=o,

(BA'— AB')r+(CA'— AC'js + D.V— AD'=a,

(OB'— BCO* +(.VB'_ BA')x+DB'— BD'=o,

5^3. Phoble.ug IX. Z'rouvcr l'intersection d’une droite et d’un plan, dont aitconnaît les équations.

Il est évident que la question se réduit à trouver les valeurs de a?, y, z ,qui satisfont aux équations de la droite et du plan, ce qui revient à résoudretrois équations du premier degré. Supposons qu’on ait les équations

X=Z(tZ-\-A X , , .

, . , 1 pour la droite#

y~bz- f,£ f 4

Aæ j lïy-|-Cji D —o pour le plan.