404 TROISIÈME PARTIE.

On en déduit'/ur-Ie-champ, en éliminant x et y,

( A a + B Z> + C ) 2 + A * + + D =: O ;

et, par suite, on a les coordonnées du point d’intersection, savoir :

Aa + B^ + O _ o( A*+ByS + D) ^ i(A*+B/ 3 -|-D)

Z Aa +BA + G ’ X ~ tt ~ Aa+Bi+C’ 3 ~ ' Aa + Bè+C -Si on a Aa+ BA+ C = o, ces valeurs sont infinies : alors la droite est pa-rallèle au plan (571). Si on a en même temps Aa.+ By? + D= o, ces valeursdeviennent indéterminées : c'est ce qui doit en effet arriver, car alors ladroite est tout entière dans le plan ( 56 g).

Deuxième partie : problèmes dont la solution est plus simple avec des axes rectangulaires.

674. PaoBLÈME X. Connaissant les coordonnées de deux points , trouver la lon-gueur de la droite qui joint ces deux points.

Soient x,y,z, et x\ y', z 1 , les coordonnées des deux points M et RP (fig. 18):il s’agit de trouver la distance MRP. Par chacun de ces points, menons troisplans parallèles à ceux des coordonnées : on forme ainsi un parallélépipède.Je désignerai la diagonale R 1 RP par J, et les côtés contigus RPF, RPG, RPII,par / g, h : ces côtés sont les différences des coordonnées des points M etRI', c'est à-dire que fxSc — x\ g—y — y', h—z — z'.

Cela posé, si les coordonnées sont rectangles, le parallélépipède l'est aussi,et alors le carré de la diagonale î est égal à la somme des carrés des troiscôtés/, g, h ; donc

P—f-+g* + A ,= (*—■*')’’ + (y—/)’+( s ~'')’ •

Quand le point RI' est à l’origine, il faut faire x'xxo, y'—o, z '—o ; et l’ona simplement

r=x'+y'+z\

5 q 5 . Si les coordonnées sont obliques, l’expression de J 3 est plus com-pliquée. Dans ce ogs , en appelant a, /*, y, les angles des axes , le 11° 535donne la formule

Htfg COSa-) -tzfh COSyê+2 gh COS7, j

il n’y a donc plus qu’à y remplacer/, g, h, par leurs valeurs, et il viendra

<T=(.r—xQ’+Cr— y'T+(.*—■z'f+-x(x—x’) (y—y') cos a.

+2(a;— x'){z — z') cos£-|-2(y— y’) ( z — z 1 ) cos y.

Voici encore une démonstration très-simple de cette formule. Nommonsles trois diagonales RP RI, FK, 111 . La figure RPF Al K est un parallé-logramme; pur conséquent, la somme des carrés de ses deux diagonales Set i' est égale à la somme des carrés des quatre côtés ; c’est-à-dire queJ‘ + <F’ J =2RPF r + 2RFKJ. Or, RPF = /, et le triangle G RF K. donneAFK.'- 1 = ÿ’-f./p-f igUcosy, donc

[*] <P+<F 3 = 2/’-F2/'-p 2 A’ + 4 s* c ° s P- __

Le parallélogramme RPIR 1 H donne aussi <T+ = aAFH J +iM , I . En