GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 405

remplaçant M'H par h, et MT par sa valeur/ 1 -Fg’ a +2/g'cos«, tirée dutriangle M'FI, on a

[£1 «f’+ <f"’ — a/ ! +3'S'’+2A î 4-4/S' cos

_Pareillement, le parallélogramme FIKII , dans lequel FI = «, et

FH J =/ ! 4-A''— 2 fh cos /i, donne

[t] é n +é' n = 2 / 3 4- 2 ^+ 2 A 1 — 4/A cos é.

Maintenant, en ajoutant les égalités [et] et [/S], puis retranchant de leursomme l’égalité [j], on arrive facilement à la formule dont il s'agit.

5ç6. Problème XI. D'un point donné abaisser une perpendiculaire sur unplan , et trouver ensuite le pied et la grandeur de la perpendiculaire.

Pour avoir des résultats plus simples , je supposerai, dans ce problèmeet dans tous les suivants, que les axes sont rectangulaires.

Il faut d’abord chercher quelles relations ont entre eux les coefficients quientrent dans les équations d’une droite et d’un plan, quand la droite estperpendiculaire au plan. Supposons que, dans le plan de xz (fig.it)),AC soitla trace d’un plan ACB, et QN la projection d’une droite MQ perpendicu-laire tace plan. Puisque MQ est perpendiculaire au plan ACB, le plan MQNest aussi perpendiculaire à ACB ; et d’ailleurs, par la nature des projections,le plan MQN est perpendiculaire au plan xOz. Réciproquement, les plansACB, xOa, et par suite leur intersection AC, doivent être perpendiculairesau plan MQN ; donc AC est perpendiculaire sur la ligne NQ, qui est situéedans le plan MQN. Donc , en général, les projections de la perpendiculairesont perpendiculaires aux traces du plan.

Cela posé, représentons par x',y',z’, les coordonnées du point donné, etle plan par l’équation

[1] Ax B/+ Ca-fD = o.

Les équations de la perpendiculaire demandée ser«nt de la forme

[ 2 ] x—x' = a (a —z'), (y—/) = b (a—aQ,

a et b étant deux inconnues. Les traces du plan donné, sur les plans de xzet de yz, ont pour équations

Mais on vient de démontrer que ces traces doivent être perpendiculaiiesaux projections de la droite cherchée ; donc on a

C <r* C

T Xo+l = °, --XHi = D'

A B

De là on tire

[3] a — —, b = —-, OU A—aC, B=AC.

C C