406 TROISIÈME PARTIE.
En mettant les valeurs de a et b dans les équations [i], il vient, pour laperpendiculaire, les équations
[4] ,r-*'= ^(s-A y-y = ^ (*-*')■
Pour avoir les coordonnées du pied de cette perpendiculaire , il suffit derésoudre les équations [ 1 ] et [4] par rapport à x, y, z; et ensuite, pour con-naître la grandeur de la perpendiculaire , il faudrait substituer les valeursde ces coordonnées dans la formule
[ 5 ] V(x-x'y+ (y-/?+ (*-*7 •
Mais il sera plus simple de chercher immédiatement les différences x — x',y — y', s —*'. A cet effet, on écrit d’abord l’équatiûn [>] sous la formeA(.r— æ')+ C(*—«O+Aa-'+By'+Cs'-f D = o,
ou mieux, en faisant Aaj'-f-B/'+Cs'-f D= D', sous celle-ci
A (x—x') -f B(y-y') + C(z—z r ) +D'=o.
On substitue dans cette équation, au lieu de x — x' et dey—y', les valeurs[4], et l’on a une équation qui fait connaître z—z'. On calcule ensu^ÿ x — x 'et_y— y 1 . De cette manière, on trouve
-AD'
— BD'
— CD'
A’+B'-f C 2
y—y —
A’+B-'+C 2
A’+B'+C 2
Par suite, en désignant la perpendiculaire par P, la, formule [5] donnep _ D' _ Ax'+Bj'+Cs'+D
1/ A 2 +IP-fCl 2 I/a'+B '+O'
Comme la valeur de P doit être essentiellement positive, il faut toujoursprendre le numérateur, abstraction faite de son signe.
Si le point donné est à l’origine, on fera x'=o, y= o, ü' = o : alors on a
P= ■ .- D _
l/A 2 +B 2 + C 2
Si le point est dans le plan donné, ses coordonnées aj', y', z', doivent sa-tisfaire à l’équation de ce plan; donc Aar'+IIy'+Cs'+D = o, et par consé-quent P = o, ainsi que cela doit être.
677. PboblÈmx XII. Mener par un point donné un plan perpendiculaire à unedroite donnée.
Supposons que les coordonnées du point donné soient x',y', «V et queles équations de la droite donnée soient[ 1 ] x—az+a, y=bz+!ï.
Puisque le plan cherché doit passer par le point donné, son équation sera dela forme A(x — x')+B(y—y')+C(z — z') = o ; et puisqu’il doit être perpen-diculaire à la droite, on doit avoir A = uC, B=êC (5jG). Par suite, l’équa-tion de ce plan est
n(,r —x') + b (,y—y')d -*— *'ï=o.