GÉOMÉTRIE ANAI/VTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 407

Si on tire (les équations [i] et fa J les valeurs de x, y, z, on aura les coor-données du point d'intersection de la droite avec le plan. En posant, pourabréger.

a(x'— a )+4 (yé) -f 2 '

on trouve

. a‘+b' + i

x = an + *, y=bn- J-yS.

5 j 8 . Problème XIII. Mener, par un point donné, une perpendiculaire à unedroite donnée ; et déterminer ensuite le pied et la grandeur de cette perpendiculaire.

Si on conduit par le point donné deux plans, l’un perpendiculaire à ladroite donnée, et l’autre passant par cettê droite, ils contiendront tous deuxla perpendiculaire demandée; donc les équations de ces plans, prises en-semble, peuvent être considérées comme celles de la perpendiculaire elle-même. D’après les n°< 577 et 5G9, ces équations sont

[1] a(x — x') + b(y —/)+*—*'= o ,

[2] [/— lz>— ,é](x— x ’)—[*'— az'~^ *](y —/') 1

+ [i(x a.) — «(/— — t 1 ) i

Les coordonnées du pied de la perpendiculaire ne sont autre chose que lesvaleurs trouvées dans le problème précédent ,

lz=zn } xz=zan-\-:L, yz=zbn-\-^ tPar suite, la grandeur de la perpendiculaire sera

p = V(X’~ a.-any+(y>-ë- bnf + (V- n)\

La quantité qui est sous le radical peut s’écrire ainsi :

{x'- a .y+(y ! - 0 f+s'^[a{x'-a)+b(y'-fi)+z']n+(a^-\-^+ï)n\

Mais, d'après la valeur de %, la partie de cette expression, qui contient lesdoubles produits, est égale à —a(a’+i’-(-i)n’; par conséquent on a

p = V{x'~ «)’+(/- £) ! -M' a -(d 2 +ft'' + iK.

Si on voulait connaître les projections de la perpendiculaire, on les dé-duirait facilement des équations [1] et [a]. Maison les trouve aussi en obser-vant qu’on connaît deux points de cette ligne, savoir : le point donné et lepied de la perpendiculaire, lesquels ont respectivement pour coordonnées

x',y',z' a et n, ou + a, i»+jS.

Par suite les équations des projections cherchées seront

, x'—n — an , y'—fi — bn /

x — x'= -; - (z — z'), y—y'— . .. — (g — z).

5^9. Problème XIV. Connaissant les équations de deux droites , on veut trouver:1° les équations de la droite sur laquelle se mesure leur plus courte distance ;a 0 l'expression de cette plus courte distance.

Soient (fig. ao) KB , CD, les deux droites données, et PQ leur plus courtedistance. D'abord la ligne PQ est droite : autrement, la droite qui joindrait