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TROISIÈME PARTIE.

les points P et Q serait plus courte. Ensuite, la ligne PQ est perpendiculaireà AB et à CD •• car si, par exemple, elle ne l'était point à CD, la perpendi-culaire, abaissée du point P sur CD, serait plus courte que PQ.

Puisque PQ est perpendiculaire à AB et à CD, il s’ensuit que si, par ladroite AB, on mène un plan UV parallèles CD, la ligne PQ sera perpendi-culaire à ce plan; donc elle est située dans les deux plans ABR et CDS per-pendiculaires à UV , conduits, l’un suivant AB, et l’autre suivant CD. Laligne PQ est donc l'intersection de ces plans, et ses équations sont celles deces plans eux-mêmes. Quant à la grandeur de PQ, elle est égale à la perpen-diculaire abaissée d’un point quelconque de la droite CD sur le plan UV.Ainsi, la marche à suivre dans les calculs est entièrement tracée.

Soient

x = az-\-tt ,y = bz+P,

X = b'z+fc\

w

les équations des deux droites données. Elles percent le plan de xy en des'points que je désignerai par T et T f , et dont les coordonnées sont

z —o, x = a, y—i 5, pour le point T;z —o, xz=.cJ, y—fL' , pour le point T'.

Cherchons d’abord l'équation du plan qui contient la première droite, etqui est parallèle à la seconde. Ce plan devant passer par le point T, son équa-tion peut s’écrire ainsi :

[3]

A(x—a)-)-B(y— f)+z=o,

A et B étant seuls inconnus. Pour que ce plan contienne la première droite,il faut que les valeurs [i] de x et de y satisfassent à l’équation [3], quelleque soit la coordonnée z, ce qui donne la condition

Aa+Bè-f i=o.

Et pour qu’il soit parallèle à la seconde, il faut poser (5 ji)Ao'+Bi'-f i=o.

Ces deux relations déterminent A et B : on trouve

è — b 1 a 1 — a

- ■ - , B=-

ab 1 ' — ba r ab 1 — ba 1

Maintenant il faut mener, par les droites damnées, des plans qui soient per-pendiculaires à celui de l’équation [3]; et, pour cela, il faut que chacund’eux contienne une perpendiculaire à ce dernier plan. Les équations desdeux perpendiculaires à ce plan , menées par les points T et T* sont (5^6)

x = As+ti, /rxB-z-)-^, pour la première ;x — Az-\-a.', yz=liz-\-^\ pour la seconde.

L’équation d’un plan qui passe p.ar la première droite donnée et par lapremière perpendiculaire est de la forme

[A]

A'(x—*)-(-B'(/—£)+i = 0 ;