CÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 409
et, pour déterminer les coefficients A' et B', on a les deux équations
[4] AA'+BB'-fi =o, uA'-f AB '+1 = o.
Semblablement, J'équation du plan qui passe par b seconde droite donnéeet par la seconde perpendiculaire est
[A'] A"(x-*0+B"O-— fi’)+z^ o,
A" et B" étant donnés par les deux équations
[5] AA"+BB"+i^o, c'A"+A'B"+i =o.
Des équations [4] et [5], tirons A' et B', A" et B"; et remplaçons ensuiteA et B par leurs valeurs. Il vient
f a — a'-\-b(ab' — ba 1 ) A— b' — a(ab' — ba')
^ ~ a{a '— a)+i(4' — b) ’ a (a '— a)+A(A' — A)’
n a —a'-f- b'(ab' — ba 1 ) b — b' — a'(ab '— ba')
^ a'(a'—“/ + A'(A'—A)’ «'(»'— a)+A'(A'—A)
Mettons ces valeurs dans [A] et [A'], et on aura les équations de la droitecherchée, sur lamelle se mesure la plus courte distance. On trouve ainsi[a — a'+ A(aA'—Aa')] (;r— a.)-f- [A— b' — a ( ab ' —Aa')] (y— fi)
+ [a(a'—a)-{-A(A'—A)] z = o ,
[a—a'4-A , (aA'—Aa')}(.r—*'.)+[A— b' — a\ab' —Au')} (y— fi')
—a)+A'(A'—A)} z = o.
Remarquons, en passant» que la seconde équation aurait pu se déduire dela première en changeant o, A, a, fi, en a' b', a.', fi', et a', A', en a et A.
Il reste encore à trouver la grandeur de la plus comté distance. D’aprèsce qui a été expliqué plus liaut, il faut abaisser, d’un point de la secondedroite , une perpendiculaire sur le plan de l’équation [3]. Pour plus de sim-plicité, on l’abaisse du point T' pour lequel on ar = o, x=a.', y = fi' : alorslaformule générale qui exprime la distance d’un point à un plan (5ç6) donnev A(*'-*)+BÇ e-fi)
l/À^+F+T
et en y mettant les valeurs de A et B, il vient
P = K*'-*)Q>-V)Mfi'-fi)(*'-°)
J/ (a' —«)'-)-(A'—A) J +(aA'—A«') 4
Telle est l’expression de la plus courte distance des deux droites.
Lorsque deux droites se rencontrent, la portion comprise entre ces deuxlignes, sur la perpendiculaire commune, est égale à zéro, donc on a
(*'—«) (6-4') + (fi'~fi) (a'—a) = o :
équation déjà trouvée (566), pour exprimer que deux droites se coupent.
58o. Problème XV. Connaissant les équations d'une droite , déterminer lesangles de cette droite avec les axes des coordonnées .
Par l’origine (fig. ai), menez OM parallèle à la droite donnée, il s'agit dedéterminer les angles MOur, MOy, MOx, que j« désignerai par «, fi, >.