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TROISIÈME PARTIE.
Prenez OM =i, et abaissez sur les axes les perpendiculaires MP, MQ, MR:les distances OP, OQ, OR, prises avec les signes qui leur conviennent, se-ront en même temps les coordonnées du point M et les cosinus des angles«, /S, y. Soient
■r = as, y = bz ,
les équations de la parallèle OM ; et soient x', y', z', les coordonnées dupoint M.Puisque le point M est sur cette ligne, et que OM est égale à 1, on ax'z-az’, y'=bz', x n +y' , +z n —i t
et ces équations feront connaître les valeurs de x', y', z’, ou de cos *, cos /?,cos^. Ainsi s'obtiennent les formules
a b i
cos a — - ■ cosg — > ■■■ ■ — . cos^=- ■■■ -- .
l/n'-f é-'-f 1 J/ «’+è’+l l/a'-fè'+I
Le parallèle OM et son prolongement QM'font avec les axes différents an-gles; mais, comme nous avons pris la valeur de z' positivement, il en résulteque ces formules donnent les angles qui sont formés, du côté des coordon-nées positives, par la portion de la parallèle qui est sitiîée, relativementau plan de xy , du même côté que les z positifs.
58i. PaODcÈUE XVI. prouver l'angle de deux droites dont on connaît leséquations.
Si, par l'origine, on mène des parallèles aux deux droites, l'angle comprisentre ces parallèles est égal à l’angle cherché. Soient (fig. 22) OM et OM 'ces deux parallèles, et soient
x = az , y — bz , les équations de la i r ',x — a'z, y = b'z, les équations de la 2".
Prenons du côté des z positifs , OM = OM '= 1 ; et faisons l’angle inconnuMOM'=V. Le triangle MOM^donne
cos V - ■ - ■ . 1— = -.
2OMXOM' 2
En désignant par x', y', z', las cordonnées du point M , et par x", y", z",celles du point M', on a
Mâr= (x'—x'y+ c*'—*")’.
En développant les carrés, et observant que = 1 e * ffue
x' n -\-y ,n - ! r z’ n — 1 , on trouve
MM b =: 2— 2 {x'x"-\-y'y"-\-z'z")\
et par suite
cosV = x'x"+y'y"+z'z".
Maintenant il est facile d'obtenir x',y', z', x", y 11 , z". En effet, à causequele point M est sur la première parallèle, et que OM est égale à 1, on ax'=zaz', y'= bz', x n -\-y n -\-z n — 1 ,
d'où l’on tire*'= —
, / =
l/n’ + i’+t
l/o’+i’-fl