411

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

On trouve de môme

-, /’ =

b>

l/a'*+b”+i 1 /V'+i'Hl

Par conséquent on aura cos V en remplaçant x', y’,qui donne

cos V = —

aa , -\-bh , -\-1

1

y a n +b n + Xetc., par ces valeurs, ce

Q l/V + i '-f j‘ l/ a ” + b’‘+l

Comme les valeurs de t 'et de s” ont été prises positivement, il en résulteque cette formule donne l’angle formé par les parties supérieures îles paral-lèles aux droites données, lequel sera aigu ou obtus, selon le signe dix nu-mérateur aa'-\-bb'-\- X.

58a. Si les deux droites font un angle droit, cosV doit être zéro ; donc

(ta*-\-bb '1 o.

Cette condition ne porte pas avec elle la conséquence que les droitesdonnées se rencontrent : elle exprime seulement que les parallèles à ces droi-tes font un angle droit. C’est là en effet ce qu’on doit entendre lorsqu'ondit que deux droites , dans l'espace, sont perpendiculaires entre elles.

Quand une perpendiculaire doit, être abaissée sur une droite donnée, ilfaut joindre à l’équation précédente celle qui exprime que deux droites secoupent (5G6). On peut obtenir ainsi de nouvelles solutions pour les pro-blèmes XIII et XIV.

583. Si les droites sont parallèles , on doit avoir V = o ou = 180 " ;donc cosV;= ± 1 ; donc

± f/a’+b'+l j/a' a d-è ,a +X = aa'+bb'- fl.

En élevant au carré et transposant, il vient

(b>—b)'+{ab'—ba'f = o.

A cette condition il en faut joindre une autre, qui est sous-entendue, cestque les quantités a, b, a 1 , b', sont réelles. Alors les cax’rés qui composentl’équation ci-dessus ne peuvent pas être négatifs, et leur somme ne devientnulle qu’en égalant chacun d eux à zéro. De là résultea r ~a t b'r^i à, ab'—ba'. ,

Ces conditions, dont la troisième est une conséquence des deux premières,sont en effet celles qui expriment que des droites sont parallèles.

584- En faisant coïncider la ligne OM ' successivement avecchacun des axes,la formule générale donnera les cosinus des angles a., y, formés par ladroite OM avec les axes. Des équations de l’axe des x sont e = 0 , y = 0 ; etcelles de la ligne OM ' peuvent s'écrire ainsi

donc, pour la confondre , avec l’axe des x, il faut poser1 i'

a'

0 ,

0 .