GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

421

Coordonnées polaires.

6o5. Une antre sorte de transformation est encore usitée : c’est celle descoordonnées rectangulaires en coordonnées polaires. Supposons (fig. 27) quela ligne OM soit projetée enOM'surle plan dea-j, et qu’on donne la distanceOM , l’angle MOM' formé par cette ligne avec sa projection sur le plan .rOy,et l’angle M'O.r que cette projection fait avec l’axe des ,r. Posons OM = p,MOM'=9,M'0.r=:<» : et soient toujours OP — x, PM'=y, MM'= s, lescoordonnées rectangulaires du point M. Les triangles OPM',OMM',donnentx = OM'cos 4, ^■ = OM'sinc]) 1 OM '=fCos9, z—ps in9 ;par conséquent

x = p cos 9 cos 4, y = p cos9 sin <p, ' zz=.p sin$.

Si on transporte dans la Géométrie les dénominations employées par lesastronomes, p sera le rayon vecteur du point M, 9 en sera la latitude , et ® lalongitude.

Au lieu des angles 9 et 4, on peut se servir des angles *, jê, 7, formés parle rayon p avec les trois axes rectangulaires : alors on a

x — p coset, y = p cos/?, z = p cos 7 :

Mais il faut établir, entre a., /?, 7, la relation cos’a-f- cos^-f- cos’7= 1.

CHAPITRE V.

ÉNUMÉRATION DES SURFACES RENFERMÉES DANS LE SECOND ORDRE.

Sur la elassWîcûlioD des surfaces en général.

606. Quand une surface est représentée par une équation entre des coor-données x y y y z y parallèles à trois axes . si on veut la rapporter à d’autresaxes, il faut mettre dans l’équation, à la place de x , y % c y leurs valeursen fonction des nouvelles coordonnées. Or, ces valeurs étant de la formeax'~\-by'-\-cz r ~\-fy il s’ensuit que l’équation transformée restera algébriqueou transcendante selon que la proposée est elle-même algébrique ou tran-scendante. Mais ce qu’il importe le plus de remarquer ici, c’est que le degréd’une équation algébrique ne peut pas changer.

D’abord il est évident qu’il ne peut pas augmenter, puisqu’on remplaceXy y, Zy par des valeurs du premier degré en x r , y' y z r i et, d'un autre côté, ilne peut pas non plus diminuer, autrement le degré de la nouvelle équationdevrait croître si on repassait aux premiers axes. C’est sur cette remarque *qu’est fondée la distribution des surfaces algébriques en différents ordres »