422 TROISIÈME PARTIE.

(l’après le degré de leurs équations. Le plan est la seule espèce de surfacequ'il y ait dans le premier ordre. Kous verrons bientôt qu il y en a cinqdans le second ordre.

6oy. Une propriété géométrique est attachée à chaque ordre : elle consisteen ce qu'une surface de l'ordre m ne peut pas être coupée pur un plan suivant uneligne d'ordre supérieur à m, ni être rencontrée par une droite en plus de m points.

En effet, si on prend le plan sécant pour celui de xjr, et qu’on fasse odans l'équation de la surface, onaura l’équation de l’intersection de la surfaceavec le plan sécant ; or, cette équation est au plus du degré m.

En second lieu, une droite étant donnée, on peut la prendre pour l’axe desx ; et si alors on fait s = o,y=o, dans l’équation de la surface, on aura uneéquation qui sera au plus du degré»;, et qui donnera, pour valeurs de x,les distances de l’origine aux différents points d’intersection de la surfaceavec lu droite : donc le nombre des intersections ne surpasse point m.

608. Dans certains cas l’équation dans laquelle on fait z = o se trouvevérifiée par cette seule substitution. Alors elle contient lefacteur z dans tousses termes, et on peut l’écrire sous la forme Yi=o. ün y satisfait donc enposant soit V=o, soitx = o. Or, l’équation z =0 détermine le plan de xy ;et l’autre équation, V = o, n’est plus que du degré m — 1 : ainsi l’équationdonnée ne représente plus, à proprement parler, une surface de l’ordre m.

Il peut aussi arriver que les hypothèses y — o, z — o, vérifient l’équationsans aucune détermination de x : alors la ligne des x est tout entière sur lasurface.

60g. Quant aux lignes considérées dans l’espace, la principale distinctionà faire est celle des lignes planes et des lignes à double courbure. Les unes peu-vent être comprises tout entières dans un plan, les autres ne le peuventpas.Le plus généralement les lignes à double courbure sont données par des in-tersections de surfaces, mais elles ne peuvent être assujéties àaucune classifi-cation fondée sur l’ordre des surfaces : caron peut varierd’une infinité de ma-nières deux surfaces, sans changer leur intersection. A la vérité , on pourraitconsidérer les courbes dans leurs projections f 55 o) : mais il arriveroit encorealors qu’en changeant les plans de coordonnées, les projections pourraientn être plus représentées par des équations du même degré ; par conséquentune classification établie sur l’ordre des projections serait défectueuse.

Simplification de l’équation générale du second dogré : évanouissement des trois rectangles.

610. On pourrait reconnaître les différentes surfaces renfermées dans l’é-quation du second degré .en suivant la même marche que pour les lignesdu second ordre. Mais comme alors on serait obligé de distinguer un grandnombre de cas, il vaut mieux commencer par simplifier l’équation.

Menons dans la surface une suite de cordes parallèles, prenons les z pa-rallèles à ces cordes, et laissons arbitraires l’origine et la direction des x etdes y. L’équation de la surface peut être mise sous la forme[A] \x' 1 k'y’* h"z* f-fiïxy-fiW xz-\- , ï\S"yz

•f 2C;r + iWy -j- F =0.