GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 427

chercher ses intersections avec les plans coordonnés et avec leurs parallèles :en conséquence je fais alternativement £=ro, y—o, x—o, dans [P] -Il vient

Par 5 +Py=Il, Px’+P'V^H, Py+P".s’ = II;

donc les plans coordonnés coupent la surface suivant des ellipses, AB,AC,BC(fig. agJ.Alin d’éviter 1» confusion , on n’a tracé qu’un quart de chacune.Pour avoirdcs sections parallèles au plan de xy, je fais s = > ; et j’obtiens

P-c’+Py = 11—P'V.

équation qui est encore celle d’une ellipse. A la vérité , cette ellipse est laprojection de la section sur le plan de xy; mais ici cette projection est égaleà la section elle-même. Donc, si on prend Oo = }, et si on mène le planaob parallèle à a-Oy, la section ab qu’il fera dans la surface sera une ellipseégale à celle qui est donnée par l’équation ci-dessus. Les longueurs de sesdemi-diamètres, parallèles aux x et aux y, sont

— pv

ob

/u— p/y

— V 3F

p y p'

Ces expressions changent avec la valeur de y. Elles vont en diminuant de-puis y = o jusqu’à y — ^/p7) ! à cette limite elles sont nulles ; et au delà

/ H

elles sont imaginaires. Il s’ensuit que, si on prend OC = * / —, la surface

n’aura que le point B de commun avec le plan RCS parallèle à xO/, etne s’étendra pas au-dessus.

En changeant y en — y, on a des sections situées du côté desz négatifs. Ilest évident qu’elles sont égales à celles qui sont placées aux mêmes distances,de l’autre côté de l’origine. En prenant OC'rrOC, et menant le plan R , C / S’parallèle à -rOj-, la surface ne dépassera pas ce plan, et n’aura avec lui quele point C'de commun.

On trouverait des résultats analogues en faisant des sections parallèles auxplans de xz et àeyz. Mais ce qui précède donne une idée assez précise de lasurface, et suflit pour prouver qu elle est limitée et fermée dans tous lessens. Elle a reçu le nom d’ELLiFsoÏDE.

On donneà l’équation [P] une forme remarquableeny introduisant les/on-gucurs des diamètres conjugués, sur lesquels sont comptées les coordonnées■ v iy< z ’ Divisons d’abord cette équation par II, puis faisons

11 viendra[P]

h =\/^,' c = \/ F'’

i,

ou bien i’cV’+a’cy+a’i’s’ = oW;

et il est évident que a, b, c, sont les demi-diamètres dont il s’agit < car si,par exemple, on fait/sso et z — o, on trouve xzzzdca.