428 TROISIÈME PARTIR,

Quand les coordonnées sont rectangulaires et qu'on suppose b= a, l'équa-a 2

tion [ p\ devient x’+y’-f- —ü’=a’; alors toutes les sections perpendiculaires

à la ligne des z sont des cercles qui ont leurs centres sur cette ligne. Commed'ailleurs le plan de xz coupe la surface suivant une ellipse qui a cette lignepour un de ses axes, on conclut que la surface est engendrée parla rotationd’une ellipse autour d’un de ses axes. C’est l’ellipsoïde de révolution.

Si de plus on suppose c — a, l’équation devient x’’-\-y x -\-z % ^=. a 1 -, c’est celled’une sphère dont le centre est à l’origine. Pour placer le centre dans uneposition quelconque, il faut prendre l’équation

(*-*)’+r r -/S)’+(>->)’ = o».

Il est clair, en effet, que tous les points de la surface sont à la distance a d'unmême point fixe 3ont les coordonnées sont a ., fi, y; donc la surface estcelle d'une sphère qui a ce point pour centre, et a pour rayon.

C 20 . Passons à l'équation [P']

fP'] P.r’+P'V—P'V—11.

Les sections de la surface par les plans coordonnés ont pour équationsP.r’+Py’— H, Px ’'—P'V = H, P'/-P*'î ! = 11.

La première détermiue une ellipse ABA'B'(fig.3o) ; et les deux autres, deshyperboles. En faisant z = ztzy, il vient

Px’+Py=H+P'V:

donc les sections parallèles au plan de xy sont des ellipses, à quelque dis-tance de l'origine qu’elles soient faites. Elles ont deux demi-diamètres con-jugués parallèles aux x et aux y ; savoir,

= y/-

h+ P '-y

ob

+p'V

et on voit qu’ils peuvent croître jusqu’à l’infini. C'est-à-dire que la surfaces’ouvre de plus eu plus à mesure qu'elle s’éloigne duplandexf.

L’équation [P'] n’étant pas semblable par rapport à x, y et z, les plansparallèles à xz et ayz donnent d’autres résultats. Soit faiton a

Px 1 —P'V =H— Vf?:

donc la surface est coupée suivant des hyperboles par tous les plans paral-lèles à celui de xz. Mais ces courbes 11 ’ont pas toujours leurs branches

tournées du même côté. Tant que /S est moindre que OB ou

le diamètre transverse des sections est parallèle aux x .• quand jZ est plusgrand, ce diamètre est parallèle aux z. Entre ces deux sortes d'hyperboles ,on trouve deux droites qui se coupent : car (Z = OB donne

Px’—P'V:=o, d’où xJ/P =z±z[/P".