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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

Les projections de ces droites sur le plan de xz sont évidemment les asymp-totes communes'aux projections des deux sortes d'hyperboles (fig.3a). Lescoupes parallèles au plan de yz donnent des remarques analogues.

On doit maintenant se faire une idée assez nette de la surface que nousétudions, laquelle est, comme on voit, tout à fait différente de l’ellipsoïde.On la nomme Hyperboloïde a une happe.

Pour mettre en évidence les diamètres de cette surface, on divise l'équa-tion [P'] par H , on fait, comme dans le n° Gig,

/ H /H

V? i= VP

et il vient

[/>']

J.

La surface rencontre le diamètre des x et des y aux diamètres a et b. Maiselle ne rencontre pas le diamètre des z ; car, en faisant x z= 'o et y — o, ontrouve z = ±cy —I. C’est pourquoi l’on dit qu’il y a deux diamètres réels

et un diamètre imaginaire.

Quand les coordonnées sont rectangulaires , et qu’on suppose b=za, l’é-quation [p'j devient x 2 +y -- z' 1 — a’* : alors la surface peut être engen-

drée par une hyperbole tournant autour de son second axe. C’est un hyper-boloïde de révolution à nàppe.'

621 . Le dernier cas des surfaces douées de centre est

[P"j Px’+py— Vz’ 1 —— H.

Pour les sections des plans coordonnés , on trouve les équations

Px’+P'y’r=—H, Px’—P'V J =—H, P'/— P"ü 2 = — H:

la première est impossible , ce qui prouve que le plan de xy ne rencontrepas la surface; les deux autres représentent des hyperboles (fig.33j.L'équation [P"] donne

Px 2 +P'7 3 =P"^— H,

*4 /H ,

et delà on conclut que, depuis z = 0 jusqu’à z — ± \/ — , la surlace n’est

point rencontrée par un plan parallèle à celui de xy •• de sorte que, si on/H • «

prend OC = OC' = y/ — , et qu’on mène les plans RCS, R'C'S', paral-

lèles à celui de xy, la surface n’aura aucun pointjentre ces plans. Lorsquez =± OC, la section n’est encorequ’un seul point, C ouC'; mais, en faisantcroître ensuite z jusqu’à , on obtient des ellipses réelles, telles queaba’b\ dont les diamètres augmentent jusqu’à l'infini.

Quant aux sections parallèles au plan de xz, ou à celui de yz, elles sonttoujours des hyperboles semblables et semblablement placées.

La forme de la surface est facile à saisir. Elle diffère essentiellement