430 TROISIÈME PARTIE.

de l’ellipsoïde en ce quelle s'étend à l’infini; et de l’hyperboloïde à unenappe, en ce quelle est composée de deux nappes disjointes. On la nqmmeHyperboioïde a deux nappes.

Ën mettant les diamètres en évidence , l’équation [P"j se change en■r’ y 2 s’

b"] +L. ^

Les diamètres la et 2 b sont imaginaires , et le troisième 2 c est seul réel.

î

L’hypothèse b —a réduit l’équation à celle-ci ; x’+y 2 -s’=. — n 2 ,

c 2

laquelle représente un hyperboloïde de révolution à deux nappes.

Surfaces dénuées de centre.

622. Ces surfaces sont renfermées dans l'équation [F] (6n),

[F] P'y , + P'V=2Qx.

On peut, si on le veut, changer tous les signes, et aussi le sens des x po-sitifs ; et de cette manière on pourra rendre positifs, s’ils ne le sont déjà,les coefficients de y 1 et de x. De là il suit que l’équation [F] n’offre quedeux cas généraux, savoir :

[Q] P'r 2 -]- P"a 2 =uQ.r, [Q'] P'y 2 —P"s’ = 2 Qx.

623. Considérons d’abord la surface qui résulte de l’équation [Q]. Pourles sections des plans coordonnés, on a les éqdations

Py+P"s’=o, P'y 2 = 2 Qx, PV = 2Qx:

la première détermine l’origine ; et les deux autres, des paraboles tellesque ROR', SOS'(fig. 3 ;j).

En prenant x négatif, l’çquation [Q] est impossible ; mais les valeurs posi-tives de x donnent des ellipses , telles que bcb'c', d’autant plus grandes que x

Les sections parallèles à chacun des deux autres plans coordonnés sontdes paraboles respectivement égales à ROR' et à SUS'. Par exemple, si onfait z = y, il vient P'y 2 —uQx—P"’), 2 ; et cette équation donne une para-bole rdr 1 , qui ne diffère de ROR' que par la situatjjÿL

La surface que nous venons d’examiner a reçu le nom de Pakaboioïde

ELUPTiqUE.

Les paraboles situées dans les plans de xy et de xz ont pour diamètrecommun la ligne des x; et leurs paramètres, relatifs à ce diamètre, sont

—. Pour les introduire dans l’éq. FOI, on posera —— = «' ;

p/ ’ p U a lnj » r p/ i p„ J

et il viendra +

î'/’-r qz^zzzlqq'x;

Quand les coordonnées sont rectangulaires, et que P"=P' ou q'—q , lasurface est produite par la rotation d’une parabole autour de son axe : c’estalors le paraboloide de révolution.