GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS 431

6a4- Il ne reste plus à discuter que l’équation [Q'j. Elle donne, pour lessections des plans coordonnés,

py_P" s ’ = o, Py* = 2Q.r, P*'a‘ = — 2 Qx.

La première de ces équations détermine , dans le plan de yz , deux droitesOD et OD' (lig. 35.)i la seconde indique, dans le plan de xy, une para-bole ROR' tournée du côté des x positifs ; et la troisième donne dans leplan de xz, une parabole SOS' tournée du côté des x négatifs.

Pour avoir des sections parallèlesau plan de yz, faisons x :_t: -x ; il vientpy>_p'V=±2Q* :

c'est-à-dire qu’on a des hyperboles dont les branches sont différemmenttournées selon le signe de Il est à remarquer que toutes ces hyperbolesont leurs centres sur l’axe des x, et que leurs asymptotes sont parallèlesaux droites OD, OD' : par conséquent ces asympsotes sont situées dans lesdeux plans conduits par ces droites et par l’axe des x.

Faisons encore z — y: on trouve pour les sections parallèles au plan de xy,Py=2Qx-j- P"y*.

Cette équation donne une suite de paraboles ; et ces paraboles ne sontautres que la parabole ROPd, placée successivement dans les différentespositions qu’elle occuperait, si on la faisait mouvoir de manière que sonplan fût toujours parallèle au plan de xy, son diamètre Ox parallèle à laligne des x , et le point O toujours sur la parabole SOS'.

Il est évident que, dans ce mouvement, la parabole ROR' doit engendrerla surface. Les coupes parallèles au plan de xz montrerait que la surfacepeut être aussi décrite en faisant glisser la seconde parabole le long de la pre-mière. Ce mode de génération indique clairement la forme de la surface,laquelle est, comme on voit, semblable à celle que prendrait un cylindre àbase parabolique , dont les arêtes seraient recourbées en paraboles (fig. 36).

Cette surface, qui diffère essentiellement de la précédente à raison des sec-tions hyperboliques qu’on y peut faire, s’appelle Paiubqloïde hyperbolique.

En mettant en évidence les paramètres du diamètre Ox, relatifs aux deuxparaboles ROR', SOS', l’équation [Q'j devient[?'] q'y*—qz l — 1 qq’x.

Cas particuliers»

625 II faut maintenant considérer les cas particuliers où il y a des termesnuis dans les équations [E] et [F],

[K] Px J +lV+P'V = lI, [F] Py+P"* , = 2Q.r.

r° Lorsque H = o, l’équation [E] se réduit à Px 2 -}-Py+P"x’=o; etcomme on peut toujours regarder P et P' comme positif, il n’y a que deuxcas distincts à examiner, savoir :

[)] Px’+P'y+P'V’— o, [ 2 ] Px’+Py—P" 3 ’=o.

L équation [ 1 ] ne peut être yériliée qu’eu prenant à la fois x = o, y — o.