432 TROISIÈME PARTIE.

z—o; donc elle représente un point unique. C'est un ellipsoïde dont lesdimensions sont nulles.

L'équation [a] représente un cône. En effet, l’équation d'un plan quel-conque passant par l’axe des z est y—ax; et si on met cette valeur de y dans[2] on trouve

/ P"

(P+PV)r’ — P "z 1 = o, d’où X = ± z V -, :

” P -+- P a.

résultat qui prouve que l’intersection du plan avec la surface de l’équation

[2] se projette sur le plan de xz suivant deux droites passant par l'origine.Ainsi, tous les plans conduits par l’axe des z coupent la surface suivant desdroites passant par l’origine ; donc la surface est un cône qui a l’originepour sommet.

2° Dans l’hypothèse P"= o , l'équation [E] devient Paf'+Py = 11 . Re-gardons P comme positif, et prenons alternativement P' positif et P' néga-tif, on a

[3] Px’-|-Py=H, [ 4 ] P Æ ’—py=H.

L’équation [ 3 ] donne un cylindre à base elliptique quand H est positif ( 548 ).

11 se réduit à une droite si H =0, car alors l’équation ne peut se vérifierqu’en faisant ar=o, y=- o; et il devient imaginaire si II est négatif.

L’équation [4] donne un cylindre à base hyperbolique, quelque soit le signede II. Quand H = o, on a deux plans qui se coupent.

3 ° Supposons P"=o, P' = o : l’équation [E] se réduit à

Px 2 =II,

et représente alors deux plans parallèles, ou un plan unique, ou deux plansimaginaires , selon qucll est positif, nul ou négatif.

4 ° En laissant de côté les cas qui rentrent dans les précédents, l’équation[F] ne donne que celui-ci :

P'/’ = 2Qx ;

et la surface est alors un cylindre a base parabolique.

Conclusion du chapitre.

62G. Cette conclusion est que les surfaces du second ordre peuvent sedistribuer en cinq genres , savoir : I’ellipsoïde, I’hyperboloïde a use nappe ,I’hyperboloïde a leux nappes, le paraboioïde elliptique , et le paraboloïde

HYPERBOLIQUE.

Toutefois, pour que cette classification soit complète, il faut rattacher àces surfaces , comme cas particuliers , les cônes et les cylindres. En outre, ilfaut remarquer qu’une équation du second degré peut aussi donner deuxplans qui se coâpent, deux plans parallèles, un plan unique, une droite, unpoint; et même elle peut offrir des cas d'impossibilité.