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TROISIÈME PARTIE.

Prenons les x et les r dans le pian principal dont l’existence est démon-

trée , et les z sur le diamètre perpendiculaire. L'équation de la surface necontiendra ni les termes du i" degré, puisque l’origine^est au centre , ni lesrectangles .r z etyz, puisqu’elle doit donner pour z des valeurs égales et designes contraires. De plus, on peut diriger les x et les / de telle sorte queces coordonnées soient perpendiculaires entre elles, et fassent disparaîtreaussi le rectangle xy; donc l’équation de la surface sera de la forme

Par’+P'/’+P'V^H.

[I]

Elle est semblable à l’équation [E] du n° Cil; mais les coordonnées actuellessont rectangulaires.

Par cette équation, on aperçoit sur-le-champ que les plans de xz et dej‘5sont aussi des plans principaux. Ainsi, Ja surface en a au moins trois; etpar conséquent l'équation [3], qui doit les donner tous , a ses trois racinesréelles. D’un autie côté , comme cette équation ne peut pas avoir plus detrois racines, on conclut qu’en général les surfaces douées de centre ont troisp lansprincipaux, ctuen ont pas davantage (*).

G3() La recherche des diamètres principaux a une connexion intime aveccelle des plans principaux. D’abord il est clair que dans l’équation ci-dessusles lignes des x,y f z, sont des diamètres principaux : car chacune passe parles centres d une suite de sections auxquelles elle est perpendiculaire. Je disde plus que ces diamètres principaux sont, en général, les seuls qu’il y aitdans la surface. Supposons qu’on ait pris un tel diamètre pour ligne des z , etqu'on dirige , dans le plan diamétral perpendiculaire, les xety suivant desaxes rectangulaires qui fassent évanouir xy. H faudra qu'en faisant z=y dansl’équation de la surface , il en résulte une courbe qui ait l’origine pourcentre : or cela exige qu’il n’y ait, après cette substitution, aucun terme duI er degré ; par conséquent l'équation de la surface ne doit renfermer aucundes termes en x , y , xz, yz. Elle ne doit pas non plus contenir le terme en z,

(*) L’équation [3], qui détermine les plans principaux, est fort remarquable,comme se présentant encore dans la théorie du mouvement de rotation d’uncorps solide. Il serait dillicile , sous la forme ôù elle vient d'être trouvée, dereconnaître que ses trois racines sont réelles; mais je ferai observer ici que, dansdes recherches de M. Jacoiu, consignées au journal de M. Chkî.li, t. XII, cettemême équation s’est offerte sous la forme suivante

B'B"

BB"_

B B'

B'(x—A') + BB" B"(\—

Or, sous celte forme, on voit facilement que les trois racines de l’équation sont

réelles et comprises dans les intervalles des quatre quantités qui sont écrites ci-dessous , et qu on suppose rangées par ordre de grandeurs :