GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 439
puisque l'origine est au centre, ni le produit xy, puisqu'on l’a fait disparaî-tre ; donc elle a encore la forme précédente [I]. Il résulte de là que le plande xy est un plan principal, c’est-à-dire qu’à chaque diamètre principal ilcorrespond uu plan principal ; et, en général, comme il n’y a que trois plansprincipaux, il n’y a aussi que trois axes ou diamètres principaux.
Cependant cette conclusion souffre exception, ainsi que celle du numéroprécédent, à cause des cas d’indétermination que peuvent offrir les éq. [i]ou [a]. Ces cas n’ont lieu que pour les surfaces de révolution, comme on leverra plus loin (645-647) ■
Remarquez en passant que les trois plans principaux sont conjugués etrectangulaires entre eux, et que leurs intersections déterminent les diamè-tres principaux , qui eux-mêmes sont conjugués et rectangulaires. C’est ceque prouve l’équation [I].
6 jo. Considérant toujours les surfaces qui ont un centre, montrons com-ment on obtient les longueurs des axes, c’est-à-dire les portions des axes quisont comprises dans la surface. Supposons que les coordonnées soient rec-tangulaires et que l’origine soit placée au centre ; nous prendrons[G | A.r’-f- A'y’-f- A"a’+ zBxy + 2B'xz + aTi"y-+G = o
pour l’équation de la surface , et[V ( ] x—iz, y= J'z ,
pour celles d’un axe. Il est clair que <f et i’ doivent être déterminés par l’a-nalyse du n°637. En désignant par A le demi-axe, et par*,y, z, les coor-données du point où il rencontre la surface, on a
a’ = x'+y'+t* 1 )z\
Mais, d’un autre côté, en éliminant* et y de l’équation [G], au moyen deséquations [ 4 ], il vient
(A^+A'^’-f A"+2B<fé'+2B'.f-f2B'^V+ G = 0;et par conséquent
_ ( r + ^ +t )G _
A ~ A<r'+A'<r+A"+ 26^-1-aB'<r+aB"é' ‘
Or, si on ajoute les équations [2] du n° 637 , après avoir multiplié la i'°par t et la 2' par S ', il vient A<f"+ A'<f' 3 + A" + aB^-f- 2BV+ 2B"J , =i)a; donc
rn — G
M A’=—.
h
641. Si G est nul, xne l’étant pas, on a A = o : c’est ce qui doit avoir lieuquand l’équation [G] représente un point, un cône, une droite , deux plansqui se coupent, ou un plan unique.
Si, en calculant x, on trouve X = o, et que G ne soit pas nul, il en résulteA= CO : ce cas a lieu pour les cylindres elliptiques ou hyperboliques, etaussi pour deux plans parallèles.
Si à la fois on a Gsso et x = o, A est indéterminé. Cela doit arriver quandon a deux plans qui se coupent, un plan unique, ou Une droite t