440 TROISIÈME PARTIE.

(> 4 a- Laissons de ehté ces cas particuliers, et supposons qu’on ait divisél'équation [G] par le terme constant après l’avoir passé dans le second mem-bre ; de sorte qu’on ait, pour la surface ,

[A] Ax'-\-ly'y'‘-\-\."z x -^-i.'Bxy-{-nWxz+iWyz = 1.

L’équation [ 3 ], qui donne x, ne changera pas, puisqu’elle ne contient pasG, et on aura simplement

| 6 ]

relation bien remarquable , qui montre qu’en divisant l'unité parles racinesde l’équation [ 3 ], on a les carrés des demi-axes de la surface.

643. Supposons la surface rapportée à ses axes. Puisqu’ils forment un sys-tème de diamètres conjugués, on peut donner encore à l’équation la forme

•r’ y"' l 1

A’ ^ c*

pour l'ellipsoïde (01 9) ;

af\ y’ z*

, + i — G

a b c

pour l’hyperljoloïde à nappe (G20) ;

x’’ r’ s’

.

a' + 'b*-? = ~'

, pour l’hyperboloïde à deux nappes (Gai).

En cherchant les distances du centre aux points oh chacune de ces trois sur-faces va rencontrer sesjixes, on trouve «, A, c, pour la première; a, b, c (/ZTj,pour la seconde ; nj/—1, b //—1, c, pour la troisième : donc, selon le genre

de la surface, l’équation [ 3 j doit avoir pour racines —, —, —, ou — __L,

a' b‘ c’ c 1 ’ 4 ’ e"

iii

ou — —, — —, —. Par conséquent, en déterminant, par la règle de Des-a* b~ c~

cartes, le nombre de racines positives ou négatives de l’équation [3] , onsaura quelle surface représente l’équation |G|. Remarquez qu’en vertu dela relation [6], les racines de l’équation [ 3 ] peuvent bien être négatives,mais non pas imaginaires.

644. Parlons maintenant des surfaces dénuées de centre. D’après ce quiprécède ( 038 ), on peut toujours trouver trois plans perpendiculaires entreeux qui changent l’éq. [G] en une autre sans rectangles. Cette transformations'effectuerait en remplaçant x, y, a, par des valeurs telles que ax+x'y-\-a."z.Or, en opérant les mêmes substitutions dans l’équation générale [A], il estévident que les rectangles disparaissent encore . car ils auront les mêmesmultiplicateurs ; donc on arrivera à une équation de la formePx’ + l’y -f-P'h;’— îQx— 2Q(y—2Q"a+F = o.

Dans le cas oh la surface n’a point de centre, il faut qu’un des carrésdisparaisse (Ou); et alors, en déplaçant l’oiîgine comme dans le il 0 Ou,l’équation ci-dessus se change en celle ci:

l'Y’ ■ \ PV— aO,r,

qui est, en coordonnées orthogonales, semblable à l'équation [F] du n°cité,et qui représente comme elle toutes les suifaces dénuées de centre.

On voit, par cette équation même, que les plans actuels de xy et xz sont