GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

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des plans principaux, et que la ligne des x est un axe de la surface. Cet axeest le seul qui existe dans la surface. En effet, les diamètres des paraboloïdesétant parallèles entre eux (636), s’il y avait un autre axe, il devrait être pa-rallèle à la ligne des x, et contenir les centres des sections perpendiculaires:or il est évident que ces sections ont leurs centres sur l’axe actuel des x.

De même, les plans de xy et de xz sont, en général, les seuls plans prin-cipaux de la surface. Remarquons d’abord que les plans diamétraux étantparallèles à la ligne des x (633), les cordes perpendiculaires à un plan prin-cipal doivent être parallèles au plan actuel de yz. Supposons ensuite qu’onfasse, dans la surface, des sections parallèles à ce plan, et qu’on mène, dansces sectious, des cordes parallèles : comme ces sections (du moins lorsqueP' est différent de P") sont des ellipses ou des hyperboles qui ont leurscentres sur la ligne des .r, et leurs axes parallèles aux y et aux z , il est clairqu’un plan ne peut pas couper les cordes parallèles perpendiculairement enleurs milieux, à moins quelles ne soient parallèles aux y* ou aux z. Or, dansle premier cas, le plft principal coïnciderait avec celui de xz, et, dans lesecond, avec celui de xy.

Si on avait P"=P', les sectionsparallèles au plandeys seraient des cercles;alors tout plan mené par l’axe des x pourrait être pris pour plan principal.

Cas dans lesquels il y a une infinilé de plans principaux. Conditions pour que la surface

soit de révolution.

On a dit (G3ç,'1 qu’une surface du second ordre a quelquefois plus de

trois plans principaux, à cause de 1 indétermination qui peut avoir lieu dansles éq. [a] du n° 637 . Ce cas ne peut pas arriver, à moins qu'une valeur dex, tirée de léq. [3], ne rende indéterminée an moins une des quantités teti 1 .Supposons que ce soit i : on aura à la fois les deux équations

(>.— A')B'+UB" = o, (x — A) (x — A') — B 1 = o.

et cette valeur étant substituée dans l’autre,

De l’une on tire x~K'

BB"\BB"

1 vient ( A'—A

B’=o, ou, sous une autre forme,

( k . . BB"\BB"

il vient I A'—A--j-B = 0 , ou, sous une autre forme,

V B' / B'

BB' B B"

M A-- A'-, 1 ” équation de condition.

J B" B'

Si 011 met la valeur de x dans les trois équations [ 2 ] , et qu’on opère les

réductions qui résultent de la relation [a], on verra que la seconde équationdevient identique avec la première, ce qui est conforme aux théories del'algèbre. Il n’y aura donc plus que deux équations, lesquelles sont

B'B"

[>]

B' t f+B”<l'+—= o,

BB"

B'<f+B"J'+-+A"—A = 0 ;

et, pour qu’elles ne soient pas contradictoires, il faudra qu’on ait

A"—A'+ :

BB" B'B"

—— =-, ou bien

B' B