TROISIEME PARTIE.

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w

A'—

B B."R'

E'R"

~ÏT

2 ' équatiqn de condition.

Quand les relations [a] et [A] auront lieu, il y aura indétermination ; carJet rf'ne seront assujettis qu’à la seule équation [i] trouvée ci-dessus.

On peut reprendre les raisonnements précédents en supposant que ce soiti' qui soit déterminé. Alors on posera

Q—A)B"+BB'=ro, (>.—A) (k— AO—B 3 =o.

La première de ces deux égalités donne la valeur x—X

BB'B" ’

qui, en vertu

de la relation [o], est égale à la valeur de a trouvée plus haut.

Au lieu de continuer les calculs, il suffira de changer partout,dans ceux quiprécèdent, l en i', A en A', B' en B", et vice versa. Comme on reproduit ainsil’équation [i] , ou conclut quelle renferme tous les cas d’indétermination quipeuvent se rencontrer dans la recherche des plans frincipaux. Quant auxéquations [«] et [”4], la première reste la même, et la seconde devient

M

a-®5.' = a"_£Z

B" ' B

Mais celle-ci, pouvant être déduite de | « j et [i], n’exprime aucune conditionnouvelle.

lin chassant les dénominateurs, les conditions [n], [4], [c| peuvent s'écrireainsi :

1V] (A —A' )B'B"+ B (B"’—B' 3 ) = o,

[4'] (A'—A")BB'-t-B"(B«—B’) = o.

[c'j (A"— A ) BB" + B' (B’ —B"’)=o.

64 C. D’après l’analysé précédente, dès que ces conditions sont remplies, lesvaleurs de <f et î', pour les cordes parallèles qui sont perpendiculaires à leursplans diamétraux conjugués, ne sont plus assujetties qu’à laseuleéquationfi].Or on peut donner à cette équation la forme

r , n B B „

[3] — à+-<r'+i=o;

L J B" B'

et alors on conclut (58 2 ) que les cordes sont perpendiculaires à la droite,qui a pour équations

[ 4 ]

— Z. Y =— £.

B" B'

647 * Les conditions qui rendent S et <T indéterminées sont aussi celles quidoivent avoir lieu quand la surface est de révolution: et les équations [ 4 ]qu’on vient de trouver sont celles de Taxe de révolution , ou du moins d uneparallèle à cet axe. C est ce qu’on peut démontrer de plusieurs manières;mais la suivante me paraît la plus simple.

Prenons des coordonnées rectangulaires , et choisissons la ligne des x pa-rallèle à la droite des équations [ 4 ]. Une corde quelconque perpendiculaireè cette droite aura pour équations Æ et,>* as i cherchons le plan