GÉOMÉTRIE ANAI.YTIQUK A TROIS DIMENSIONS. 443

diamétral conjugué. Il suffit de faire S= o dans l'équation générale [/)] dun» G3o ; et par là elle devient

(B<F + B'\r+(A V'+ B")y+{ A" + B"«F)s + CM'+C"= o.

Quel que soit à',, elle doit représenter un plan principal , c’est à-dire unplan perpendiculaire à scs cordes conjuguées : donc on doit avoir (5^6)EJ'-f-B'=o, AM'4- lV'i= (A”+ S' ; et comme i' doit demeurer indéter-miné, on conclut de là B=o, B'=o, B"==o, A'=A";et par suite l’équationde la surface doit être

Ax , -\-A'(y‘‘-{-z'*)-\-2Cx+iC'y+'}.C r '3-\-F=o.

Maintenant il est clair qu’en faisant des sections parallèles au plan de yz ,on obtient des cercles qui ont leurs centres sur une même perpendiculaireà ce plan ; par conséquent la surface est de révolution autour d une pa-rallèle à l’axe des x, et c’est ce qu’il fallait démontrer.

Le cas où A'est zéro semble faire exception. Mais on le comprendra dansla conclusion générale, en remarquant qu’alors la surface est un cylindreparabolique, qui peut être considéré comme produit par la rotation d’uneparabole autour d’un axe parallèle à son plan , et situé à une distance infiniede son sommet.

<>j8. Examinons quelques cas particuliers.

i" Soit B — o. La condition |i'] se réduit à B'T>"=o, égalité impossiblequand B' et B" sontdillérents de zéro; donc lorsqu une équation du deuxièmedegré entre trois coordonnées rectangulaires n’a perdu qu’un seul rectangle,elle ne peut pas représenter une surface de révolution.

2 ° Soient B —o, B' = o. Les équations [a'] et fi'] paraissent vérifiées :

mais si on élimine entre elles le rapport—,

on trouve une condition qui

restera encore à remplir. Les égalités [n] et fi] donnentB _(A'—A)B"

B' - B" J -

'—A)B" B ' /B’ \

-— , —(A"—A')+B"[- i=o.

" J _B" B' VB" J

B A'—A

Faisons B' = o : alors — -— ; et par suite, en mettant cette valeur

B' B"

dans la dernière égalité, on trouve aisément la condition[0 B" 3 =(A"— A ) (A'—A ).

Quand elle estremplie, les équations [4] de la parallèle à l’axede révolutiondeviennent

A'—A

x=zo, y= - z.

E"

3° Supposons en outre B" = o. La relation [d] exige qu’on ait A"= Aou A'—A , c'est-à-dire que les coefficients de deux carrés doivent être égaux.Il est évident, en effet, que la surface est alors de révolution autour d’uneparallèle à l’un des axes de coordonnées.