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TROISIÈME PARTIE.

CHAPITRE VII.

PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJÜOÜKS.

6^9. Dans les surfaces du second ordre qui ont un centre , les diamètresconjugues jouissent d’un grand nombre de propriétés remarquables. Laparfaite analogie de quelques-unes d’entre elles avec celles qu’on connais-sait déjà pour l'ellipse et l’hyperbole, suffisait pour les faire découvrir :mais il en est d'autres dont les énoncés étaient entièrement nouveaux quandil ont paru, et dont on est redevable a MM. J. Binbt, Petit et Chasi.es. Leslimites de cet ouvrage ne me permettant pas de les exposer toutes, je mebornerai aux plus saillantes.

La définition meme des diamètres conjugués (616) exige que l’équationde la surface ne contienne chaque variable qu’au carré, quand on choisitces diamètres pour axes de coordonnées. Ainsi, en prenant l’équation dela surface rapportée à ses axes, en effectuant la transformation nécessairepour changer la direction des coordonnées sans déplacer l’origine, et enétablissant les conditions qui font évanouir les rectangles, on aura toutesles relations qui existent entre les diamètres conjugués et les axes.

Je ne parlerai que de l’ellipsoïde; mais il sera facile de transporter auxhyperboloïdes les différentes propositions qui vont être établies. Pour celail suffira de prendre négativement les carrés des axes imaginaires et desdiamètres imaginaires ; car toutes les démonstrations subsisteront encoreen y faisant partout ces changements.

65o. Soit l’équation de l’ellipsoïde, rapporté à ses axes (643),

w

-+-+—=a> c'

I.

L’origine devant rester placée au centre, on prendra (5g5) les formules

*=«■*,+z, > y=«-'xt+fc'y,+y' z n * =

dans lesquelles on représente par x', y'\, s' , les noullvecs coordonnées; etpar a, a',a", par p, ft', par >•,>', 7", les cosinus des angles formés avec

les axes primitifs par les lignes des x,, des/, et des z r£n substituant ces valeurs dans [/>], il vient une équation de la forme

Ax/+A'j/ , +A'V+ 2Rr /i r,-l-2P<'x / î ; +2r." i >-,* ; = 1 ;

et, pour que la surface soit rapportée à des diamètres conjugués, il fau-dra poser

B = o, B' = o, B" = o.