GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. M5

Eu même temps, il est facile de voir que, si on nomme a', A', c', lesdemi-longueurs de ces diamètres, on aura

A = —, A'=—, A"= — :

n ' 2 A ' 2 c ' 2

de sorte que l’équation de l’ellipsoïde deviendra

— -f —-+ —=i.a ' 3 A ' 2 c ' 2

65i. Les propriétés des diamètres conjugués sont renfermées dans lesrelations qui existent entre les quinze quantités a, 4, c, a', A', c', a, a",/S, y, y', y". Réunissons ici toutes ces relations, qui sont au nombre

de neuf.

D’abord, les cosinus *, a', a", ^,... sont toujours assujettis aux troisconditions

[l] a 2 + a ' 2 + a" 2 =I, £’ + é rJ +£"’= I, /+>"+>"— I.

Ensuite, si on développe les calculs afin d’avoir les quantités représentéespar A, A', A", B, B', B", on aura, d’après ce qui précède,

i

, a‘ + A 2 + c 2 ' ~

w ^ + ^ + £:=j.,

u * - 2 b 2 e b rtL. + l1 + Ïl!1 = ±

i n 2 A 2 c 2 c' 1 ’

— + —H- — = °>

a o c

roi / -V.-V.-V_

K (- + -F+ — =«.1 W t"y" _ a

1 A 2 + c 2 °’

Voilà toutes les relations dont il s’agit. Mais il se présente une remarqueimportante : c’est que les équations £ 2 ] et [3] ne sont autres que les équa-tions [«] et [A] du n° 600 , dgns lesquelles on aurait remplacé

a, a', a". A, A', b", c, c', c "',

P“ r , , , ... . , .

a b c a b c a b c

De là il suit que 1<^ équations [c] , [</], [ej, du même n", doivent aussiavoir lieu, après qu’on y aura fait ces changements : c’est-à-dire qu’on a(n ' 2 * 2 +A'-'é 2 +c'V =«’, U'W +A' 2 Âé' +e'\y< = 0 ,

[41 ) «'V 2 + A'V ' 2 +c'V 2 =A\ [5] < a ri aut" +A' 2 £é" + c rÀ yy" —0 ,

[«]

«"^'^.-f-A' 2 /!" 3 +c'V'’= c 2 ,

A',

+A' 2 ^4"+c' 2 >y'=o,

«'et

. .

gc a

laV b'â

Vr

4 oc a

Wb’.bca7/i

«'a'

W-h")= —.

rtc

—

«c A

«'A' c'y

ac A

AV.

«A

nV

aA

«'A'

aA

(£>'- >v£')=

AV"

a-*— «y = ■

c

c'a"

aAc

V"+ > *V"-,e it y'+ / .'y *"- 5 ,sv'= i.