GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 451

Développons la seconde équation , de manière que les premières puissancesde/, g, h, soient en éridence, et retranchons eri la première : on trouve

(plix’ f ~y r, i lr + etc.)/+(■? A.r"’/' J ~V r + etc.) g

+ (rAa J, ’ - )''V -1 + etc. )7i + a> = 0 ,

a étant une suite de termes qui contiennent des puissances et des produits

de /, g, h.

Désignons en général par X, Y, Z, les polynômes dérivés de F v x, y, z),relatifs à x, y, z , et par X', Y', Z', ce qu’ils deviennent pour les valeursx=x', y—y', s—s' ; divisons l’équation précédente par b, et observonsqu’on a f—uik, g—£h : il viendra

X' a +Y^+Z'+a/=o,

ai' étant une quantité qui contient encore le facteur h dans tous scsatermes.

Cette équation doit avoir lieu, quelque rapprochés quo soient les points Met M'; donc elle subsiste encore quand ils se confondent. Mais alors hzxt) ;par conséquent a>'=o, et l’équation devient

[3] ’ XU.WH-kZ'ïXD.

Telle est la relation qui doit lier efitre elles iés quantités «et j®, pour que leséquations [a] soient celles d’unetangenle à la surface, au point dont les coor-données sont x', y', z'. Four avoir le lieu de toutes les tangentes en ce point,il faut éliminer a et /2 entre les équations [a] et [3J. De cette manière ouobtient l'équation d’un plan , savoir :

[4] X'(x—*04- Y '(y-y*) + Z’(z—z') = 0 .

C’est le plan tangent à la surface , au point donné.

(> 09 . On parvient encore à cette équation d’une manière simple, en re-gardant les surfaces courbes comme composées de faces planes infinimentpetites : mais reprenons les choses de plus haut.

Soit ABD ( fig. 4° ) une courbe , dans laquelle on a inscrit un polygone ;et supposons qu’on augmente de plus en plus le nombre de ses côtés enplaçant de nouveaux sommets entre les premiers. On aura ainsi une suitede polygones inscrits dont la courbe est la limite , et c’est ce qu’on exprimeen disant qu’elle peut être considérée comme un polygone d'une infinité decôtés, dont chacun est infiniment petit. Alors aussi ces côtés infiniment petitssont nommés les éléments de la courbe.

Soit BCL un côté indéfiniment prolongé du polygone ABCD. A mesureque les côtés diminuent, le point C se rapproche du point B; et, à la limiteil est clair que la droite BL devient tangente à la courbe au point B. C’csice qui fait dire que la tangente à une courbe est le prolongement indéfini d'unélément de cette courbe.

Les considérations précédentes s’appliquent naturellement aux surfacescourbes, c'est à'dirc qu’on peut les regarder comme des polyèdres duneinfinité de faces infiniment petites ; et alors le plat tangent est le plan duneface, prolongé indéfiniment.