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TROISIÈME PARTIE.

De cette manière (le présenter le plan tangent, il résulte comme consé-quence qu’il doit contenir toutes les tangentes menées à la surface par lepoint de contact. En effet, si on prend sur la surface , autour de ce point, unespace aussi resserré qu'on voudra, on peut le considérer comme un élémentplan dont le prolongement indéfini détermine le plan tangent. Concevonsensuite différentes courbes tracées sur la surface par le point de contact : ilest évident que chacune d’elles aura un élément situé dans le plan tangent,et que par conséquent la tangente, qui est le prolongement de cet élément,sera tout entière dans ce plan.

Il suit de là que, pour avoir le plan tangent en un point donné, il suffitde mener par ce point les tangentes à deux lignes de la surface , et de con-duire un plan par ces tangentes. Ce procédé, dont on fait usage dans lagéométrie descriptive, conduit aussi avec facilité à l’équation du plan tan-gent. Pour plus de simplicité, on mènera les tangentes aux deux sectionsfaites dans la surface parallèlement aux plans de xz et de yz.

Soit comme plus haut,

[i] F(x,j, a) = o

l’équation de la snrface , et soient x', y', z', les coordonnées du point decontact : je fais y—y', et il vient, pour la section parallèle au plan de xz,F (•*>/. *)=o.

Or, suivant ce qui a été exposé (éyi), je prendrai les polynômes dérivés dupremier membre de cette équation, relatifs à x et à a, puis j’y remplacerai xet z par x' et z' ; et en les désignant, après ces substitutions, par X' et Z',on aura, pour les équations de la tangente à la section,

, , X'

y=zy\ z— z’zzz — — (x — x').

Maintenant, pour avoir une section parallèle à yz , je fais xa^x'dansl’équation [i] , ce qui donne

F(x', j-, a) = o.

Il est clair qu’eu prenant les polynômes dérivés, relatifs à y et à z , du poly-nôme I\x', y, z), et en y mettant y ' et z ' au lieu dey et z , le second ne seraautre que la quantité Z' déjà trouvée. Désignons le premier par Y' ; et ouaura , pour la tangente à la nouvelle section , les équations

Y'

x=x', 2 — *'=— — (y—y')-

L’cqnation du plan tangent doit être de la forme

A (x—x')+B(y—y')+ C (z—z’) = o.Pour qu’il contienne la première tangente, on doit avoir A :

CY 7

qu il contienne la seconde, B = Par suite il vient

CX '

[4] X' (x-x') + Y'Cy-y') + Z'(z-z')=o,

pour le plan tangent, comme plus haut (fi38).

et, pour